Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Correction Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $E$ l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.

On note $A$ l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «$\star$ » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25$.

On associe au séparateur «$\star$ » le nombre 26.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}$$
On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang 1, ... , $z$ a pour rang $25$ et le séparateur «$\star$ » a pour rang $26$.

Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l'application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.

On remarquera que pour tout $x$ de $E,\: g(x)$ appartient à $E$.

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$. Exemple : $s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

1. Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
   En déduire les caractères invariants dans ce codage.
On cherche les valeurs de $x$ telles que $4x+3 \equiv x [27]$.
$\Leftrightarrow 3x + 3 \equiv 0 [27]$
$\Leftrightarrow 3(x + 1) \equiv 0 [27]$
$\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $3(x+1) = 27k$
$\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $x+1 = 9k$
$\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $x = 9k – 1$
$\Leftrightarrow x \in \{8;17;26\}$
Les seuls caractères invariants sont donc $i$, $r$ et $\star$
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
Si $u \equiv 4x + 3 [27]$ alors$ 7y+6 \equiv 28x + 21 + 6 [27] \equiv 28x [27] \equiv x[27]$
Considérons $2$ caractères distincts codés par les nombres $x$ et $z$.
On sait que $0 \le x \le 26$ et $0 \le z \le 26$.
Si $g(x) = g(z) = y$ alors $x \equiv 7y +6 [27]$ et $z \equiv 7y+6$ et par conséquent $x \equiv z [27]$.
Ce qui est impossible puisque les caractères étaient distincts.
Donc $2$ caractères distincts sont codés par $2$ caractères distincts.
3. Proposer une méthode de décodage.
Pour décoder un caractère $y$ il suffit de calculer $7y+6$ modulo $27$.
4. Décoder le mot «$vfv$ ».
$v$ est codé par $21$ et $f$ est codé par $5$.
$7 \times 21 + 6 = 153 \equiv 18 [27]$ : caratère $s$
$7 \times 5 + 6 = 41 \equiv 14 [27]$ : caractère $o$
Par conséquent $vfv$ est décodé en $sos$.