Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
PARTIE A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Variables :}& N \text{ est un entier }\\ &U, V, W \text{ sont des réels}\\ &K \text{est un entier } \\ \text{Début :}& \text{ Affecter 0 à } K\\ & \text{ Affecter 2 à } U \\ &\text{ Affecter 10 à } V\\ &\text{ Saisir } N\\ &\text{ Tant que } K < N\\ & \text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K\\ & \text{ Affecter } U \text{ à } W\\ & \text{ Affecter } \dfrac{2U+V}{3} \text{ à } U\\ & \text{ Affecter } \dfrac{W+3V}{4} \text{ à } V\\ &\text{ Fin tant que }\\ &\text{Afficher } U \\ &\text{ Afficher } V\\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$
PARTIE B

    1. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
    2. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$.
    3. En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
  1. Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
  2. Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.

 

Correction de l'Exercice 2
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