Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Correction de l'Exercice 1
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Exercice 1 5 points
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]
- Étude d'une fonction auxiliaire
- Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0 ; +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$. $g'(x) = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x = x\text{e}^x(2+x)$.
- Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0 ; +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[. $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
- $\1 $ est une fonction dérivable donc continue sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
- $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
- $\1 \left(\2\right)=\4$ et $\lim\limits_{x \to \3}~\1(x)=\5$
- Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0 ; +\infty[$. Par conséquent, en utilisant le fait que $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
Par conséquent sur $[0;+\infty[$, $g'(x) \ge 0$ (et ne s’annule qu’en $0$) et $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$g(0) = -1$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty$ , $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x) = +\infty$.
D'après le théorème de la bijection :
$\6\in \left[\4;\5\right[$,
donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left[\2 ; \3\right[$ .Encadrement de $\alpha$ à $10^{-\2}$ pès :
Avec une calculatrice on obtient :
$\3\left(\4\right)\approx \5$ et $\3\left(\6\right)\approx \7$
On a donc $\3\left(\4\right)<\8<\3\left(\6\right)$, soit $\3\left(\4\right)<\3\left(\1\right)<\3\left(\6\right)$
comme $\3$ est strictement croissante sur $\left[\9;\10\right]$; on déduit $\4<\1< \6$$$\4<\1< \6$$
$g(x) < 0$ sur $[0;a[$, $g(a) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]a;+\infty[$. - Étude de la fonction h $f$
- Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \text{e}^x = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty$.
- On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$; elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
- En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$
- Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$. $f$ admet donc un minimum en $a$. Or $g(a) = a^2\text{e}^a-1 = 0$.
- Justifier que $3,43 < m < 3,45$. $0,703 < a < 0,704$ donc $\dfrac{1}{0,704} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{0,703}$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$.
Et $f'(x) = \text{e}^x – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 \text{e}^x-1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
d’où $\text{e}^a = \dfrac{1}{a^2}$.
$m= f(a) = \text{e}^a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.
On a donc également $\dfrac{1}{0,704^2} < \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{0,703^2}$ Soit $\dfrac{1}{0,704} + \dfrac{1}{0,704^2} < m < \dfrac{1}{0,703} + \dfrac{1}{0,703^2}$
D’où $3,43 < m < 3,45$.
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