Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Correction de l'Exercice 4

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Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.
  2. Affirmation vraie
    >$(1+\text{i})^{4n} = \left((1+\text{i})^4 \right)^n = \left( \left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi /4}\right)^4 \right)^n = (4\text{e}^{\text{i}\pi})^n = (-4)^n$
  3. Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbb{C}$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8.
  4. Affirmation fausse
    Cherchons les solutions de $z^2-4z+8 = 0$.
    $\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$.
    Cette équation possède donc $2$ solutions complexes :
    $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes.
    $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et $A$ est sur c et axe.
    Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$.
    Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$.
    L’aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$.
  5. Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$.
  6. Affirmation vraie
    $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
    $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$.
  7. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition : si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés.
  8. Affirmation vraie
    affixe de $\vec{OA} : a = \dfrac{1}{2}(1+i)$
    affixe de $\vec{OM_n} : m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
    $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés $\Leftrightarrow \dfrac{m_n}{a}\in \mathbb R$.
    Or $\dfrac{m_n}{a} = \left( \dfrac{1}{2}(1+i)\right) ^{n-1} = \left( \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4} \right) \right)^{n-1} = \dfrac{\sqrt{2}^{n-1}}{2^{n-1}}\text{e}^{(n-1)\text{i}\pi/4}$
    $\dfrac{m_n}{a}\in \mathbb R \Leftrightarrow \dfrac{n-1}{4}\in \mathbb N \Leftrightarrow n-1$ divisible par $4$.
  9. Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.
  10. Affirmation vraie
    $j=\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3} = -0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
    Donc $j^2 = \text{e}^{4\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{4\pi}{3} = -0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
    Finalement $1+j+j^2 = 1 – 0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} – 0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} = 0$
    remarque : on pouvait également dire que $1+j+j^2 = \dfrac{1-j^3}{1-j}$.
    Et $1-j^3 = 1 – \text{e}^{2\text{i}\pi}=0$.
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