Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 3
Exercice 3 4 points
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ .
On considère les points A(1;2;5), B$(-1;6;4)$, C$(7;- 10;8)$ et D$(-1;3;4)$.
- Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan.
- On admet que les points A, B et D définissent un plan.
Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan (ABD) est $x - 2z + 9 = 0$. - Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \dfrac{3}{2}t - 5\\ y &=& - 3t + 14\\ z &=&- \dfrac{3}{2}t + 2 \end{array}\right. \quad t \in\mathbb{R}\]
- Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 5z + 7 = 0$ et $\mathcal{P}'$ le plan d'équation cartésienne $- 3x - y + z + 5 = 0$.
Proposition 4 : Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles.
Proposition 1 : FAUX
$\vec{AB}(-2;4;-1)$ et $\vec{AC}(6;-12;3) = -3\vec{AB}$
Les $2$ vecteurs sont colinéaires, ils ne définissent donc pas de plan.
Proposition 2 : VRAI
Regardons si les coordonnées de chacun des points vérifient l’équation donnée :
Pour $A$ : $ 1 – 10 + 9 = 0$ $\surd$
Pour $B$ : $-1 -8 + 9 = 0$ $\surd$
Pour $D$ : $-1 – 8 + 9 = 0$ $\surd$
L’équation donnée est donc bien une équation de $(ABD)$.
Proposition 3 : FAUX
Si $t=4$ alors $x=1$, $y=2$ et $z=-4$. Par conséquent le point $A$ n’appartient pas à la droite dont la représentation paramétrique est fournie.
Proposition 4 : FAUX
Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;5)$.
Un vecteur normal à $\mathscr{P}’$ est $\vec{n}(-3;-1;1)$.
C’est $2$ vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (en revanche ils sont orthogonaux!)
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