Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. 1. Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près:
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline u_{n}&2& 3,4& 2,18& 1,19 & 0,61 & 0,31 & 0,16 & 0,08& 0,04\\ \hline \end{array}$$
   2. D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
   Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit décroissante.
2. 1. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a \[u_{n} \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\]
   Initialisation : si $n=1$ alors $u_1 = 3,4$ et $\dfrac{15}{4} \times 0,5 = 1,875$. Par conséquent $u_1 \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5$
   La propriété est vraie au rang $1$
   $~$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$
   Alors :
   $$\begin{array}\\ u_{n+1} &= \dfrac{1}{5}u_n + 3 \times 0,5^n \\ & \ge \dfrac{1}{5} \times \dfrac{15}{4} \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \\ & \ge \dfrac{3}{4} \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \\ & \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^n \\ & \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5 \times 0,5^n \\ & \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^{n+1} \end{array} $$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $~$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. Si on la suppose vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
   Par conséquent, pour tout entier naturel non nul $n$ on a:
   $$u_n \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$.
   $$\begin{array} \\u_{n+1} – u_n &= \dfrac{1}{5}u_n + 3\times 0,5^n – u_n \\ &= -\dfrac{4}{5} u_n + 3 \times 0,5^n \\ & \le -\dfrac{4}{5} \times \dfrac{15}{4} \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \\ & \le -3 \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \end{array}$$
   3. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
   La suite $(u_n)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Par conséquent, elle converge.
3. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times 0,5^n$.
   1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$.
   $$\begin{array}\\ v_{n+1}& = u_{n+1} – 10 \times 0,5^{n+1} \\ &= \dfrac{1}{5}u_n+3\times 0,5^n – 10 \times 0,5 \times 0,5^n \\ &= \dfrac{1}{5}u_n-2\times 0,5^n \\ &= \dfrac{1}{5} (u_n – 10 \times 0,5^n) \\ &=\dfrac{1}{5} v_n \end{array}$$
   2. En déduire, que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = - 8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.\]
   La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0 = 2 -10 = -8$
   
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
   Par conséquent $v_n = -8\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^n$.
   On en déduit donc que :
   $$ \begin {array} \\u_n &= v_n + 10\times 0,5 ^n \\ &= -8\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^n+ 10\times 0,5 ^n \end{array}$$ $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{1}{5} \right)^n = 0$ car $-1 < \dfrac{1}{5} < 1$.
   Pour la même raison on a : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$
   Par conséquent : $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$$
4. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant 0,01$. $$\begin{array} {|l| l|} \hline \text{Entrée :}& n \text{ et } u \text{ sont des nombres}\\ \text{Initialisation :}& n \text{ prend la valeur 0}\\ & u \text{ prend la valeur 2}\\ \text{Traitement :}&\text{ Tant que ... (1)}\\ &\ n \text{ prend la valeur ... (2)}\\ & u \text{ prend la valeur ... (3)}\\ &\text{ Fin Tant que}\\ \text{Sortie :}&\text{Afficher } n\\ \hline \end{array}$$
Entrée :
$\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $u$ prend la valeur $2$
Traitement :
$\quad$ Tant que $u > 0,01$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $ -8\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^n+ 10\times 0,5 ^n$ $\quad$