Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ par \[\left\{\begin{array}{r c l} u_{0}& =& 2\\ \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n. \end{array}\right.\]

1. 1. Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline u_{n}&2&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
   2. D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
2. 1. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a \[u_{n} \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\]
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$.
   3. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
3. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times 0,5^n$.
   1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$.
   2. En déduire, que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = - 8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.\]
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
4. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant 0,01$. $$\begin{array} {|l| l|} \hline \text{Entrée :}& n \text{ et } u \text{ sont des nombres}\\ \text{Initialisation :}& n \text{ prend la valeur 0}\\ & u \text{ prend la valeur 2}\\ \text{Traitement :}&\text{ Tant que ... (1)}\\ &\ n \text{ prend la valeur ... (2)}\\ & u \text{ prend la valeur ... (3)}\\ &\text{ Fin Tant que}\\ \text{Sortie :}&\text{Afficher } n\\ \hline \end{array}$$