Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Nombres complexes

Partie A

On appelle $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ on a placé un point $M$ d'affixe $z$ appartenant à $\mathbb C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe $\left[\text{O}~;~ \vec{u}\right)$.

1. Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$.
2. Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\] Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$.

Partie B

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\mathbb C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : \[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\] Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.

1. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
2. Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
3. On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel.
   1. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
   2. Démontrer cette conjecture, puis conclure.