Baccalauréat S Métropole 22 juin 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Nombres complexes

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

1. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) : \[z^2 -8z+64 = 0\]Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
2. On considère les points \(A, B\) et \(C\) d'affixes respectives \(a=4 + 4\text{i}\sqrt 3, b= 4 - 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c = 8\text{i}\).
   1. Calculer le module et un argument du nombre \(a\).
   2. Donner la forme exponentielle des nombres \(a\) et \(b\).
   3. Montrer que les points \(A, B\) et \(C\) sont sur un même cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) dont on déterminera le rayon.
   4. Placer les points \(A, B\) et \(C\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
   Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2.d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
3. On considère les points \(A', B'\) et \(C '\) d'affixes respectives \(a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, b' = b \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\) et \(c'=c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\).
   1. Montrer que \(b'= 8\) .
   2. Calculer le module et un argument du nombre \(a '\).
   Pour la suite on admet que \(a'=-4 + 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c'= - 4\sqrt 3+ 4\text{i}\) .
4. On admet que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \([MN]\) a pour affixe \(\dfrac{m+n}{2}\) et longueur \( MN\) est égale à \(|n - m|\).
   1. On note \(r, s\) et \(t\) les affixes des milieux respectifs \(R, S\) et \(T\) des segments \([A' B], [B' C] \) et \([C'A]\).
      Calculer \(r\) et \(s\) . On admet que \(t= 2-2\sqrt 3 + \text{i}\left ( 2+2\sqrt 3\right )\)
   2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle \(RST\) ? Justifier ce résultat.