Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017 - Correction Exercice 2
Page 4 sur 10
Correction de l'exercice 2 (3 points)
Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.
- La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près. La durée de vie moyenne est de quatre ans. Donc $E(T)=4=\dfrac{1}{\lambda}$ Par conséquent $\lambda =\dfrac{1}{4}=0,25$.
- Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral. $z^3-3z^2+3z=0\iff z\left(z^2-3z+3\right)=0 \iff z=0$ ou $z^2-3z+3=0$
On veut calculer $P_{(T\geq 3)}(T\geq 2+3)=P(T\geq 2)$ (durée de vie sans vieillissement)
Or $P(T \geq 2)=\text{e}^{-0,25 \times 2}=\text{e}^{-0,5}\approx 0,61$
L’affirmation est donc fausse.
On calcule le discriminant de $z^2-3z+3=0$
$\Delta = (-3)^-3\times 4= -3<0$
L’équation du second degré possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2= \overline{z_1}=\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
Les solutions de l’équation $z^3-3z^2+3z=0$ sont donc $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
On appelle respectivement $O$, $A$ et $B$ les points d’affixes $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
$OA=\left|z_A\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$
$OB=\left|z_B\right|=\left| \overline{z_A}\right|=\sqrt{3}$
$AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|\text{i} \sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.
Le triangle $OAB$ est donc équilatéral.
L’affirmation est donc vraie.
- Vues: 14700