Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Le nombre complexe conjugué de $z$ est égal à :
   
   • a.$\overline{z} = - 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$
   • b. $\overline{z} =3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$
   • c. $\overline{z} = - 3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$
   • d.$\overline{z} = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
2. La figure ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction! définie sur $\mathbb R$. En notant $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x$, on a alors, en unités d'aire :
   
   
   • a. $1< I < 3$
   • b. $0 < I < 9$
   • c. $9 < I < 12$
   • d. $12 < I < 22$
3. La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par \[g(x) = \ln \left(x^2 - 2x + 4\right).\]
4. La courbe de la fonction dérivée de la fonction $g$ est :
   • a.
   • b.
   • c.
   • d.
5. La variable $X$ suit la loi normale d'espérance $3$ et d'écart type $6$. La probabilité $P(X < 3)$ vaut :
   • a. $0,5$
   • b.$0,997$
   • c.$3$
   • d.$0$

Correction de l'exercice 1 (4 points)

Probabilités

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Le nombre complexe conjugué de $z$ est égal à :
   
   • La bonne réponse est b. $\overline{z} =3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$
Le conjugugué de $z=re^{i\theta}$ est $re^{-i\theta}$
2. La figure ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction! définie sur $\mathbb R$. En notant $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x$, on a alors, en unités d'aire :
   
   
   • a. $1< I < 3$
   • b. $0 < I < 9$
   • c. $9 < I < 12$
   • d. $12 < I < 22$

La courbe représentative de la fonction $f$ est située au dessus de l'axe des abscisses, donc l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 f(x)dx $ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=3$. Or cette aire peut être encadrée par l'aire d'un carré de côté 3 et l'aire d'un rectangle de longueur 4 et de largeur 3. D'où $$3^2<\displaystyle\int_0^3 f(x)dx <3\times 4 $$ $$9<\displaystyle\int_0^3 f(x)dx <12$$
1. La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $$g(x) = \ln \left(x^2 - 2x + 4\right).$$
2. La courbe de la fonction dérivée de la fonction $g$ est :
   • a.
   • b.
   • c.
   • d.
Par lecture graphique : Sur l'intervalle $[0;1]$ la fonction $g$ est décroissante
donc pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1], g’(x)\leq 0$.
Sur l'intervalle $[0;+\infty[$ la fonction $g$ est croissante donc pour tout réel $x\geq 1, g’(x)\geq 0$.
La courbe 2 est la seule des quatre courbes qui peut convenir.
3. La variable $X$ suit la loi normale d'espérance $3$ et d'écart type $6$. La probabilité $P(X < 3)$ vaut :
   • a. $0,5$
   • b.$0,997$
   • c.$3$
   • d.$0$
La variable $X$ suit la loi normale d'espérance 3 alors, $P(X < 3)= 0,5$

Exercice 2 6 points

Suites

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
Un smartphone est équipé d'une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d'intensité moyenne $I$ de 0,03 ampère (A). La capacité $C$ de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale d'électricité qu'elle peut emmagasiner. On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d'électricité absorbée, éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité. Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.

1. L'autonomie $T$ de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité $C$ de sa batterie et de l'intensité moyenne $I$ du courant qu'elle débite en usage normal. On estime que $T = 0,7 \times \dfrac{C}{I}$. Calculer l'autonomie $T$, en heures, de ce smartphone au cours de l'un des $300$ premiers cycles de charge.
2. On considère qu'après $300$ cycles de charge, l'autonomie de la batterie diminue de 1 % à chaque nouveau cycle de charge. Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ l'autonomie, en heures, de la batterie au bout de " $300 + n$ " cycles de charge. On admet que $T_0 = 42$.
   1. Calculer $T_1$ et $T_2$. Interpréter les résultats.
   2. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ ;
   3. Justifier que $T_n = 42 \times 0,99^n$.
3. Un utilisateur souhaite déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
4. On propose l'algorithme suivant pour déterminer le nombre de cycles de charge correspondant. $$\begin{array}{|c|}\hline \text{Variables}\\ \hspace{0.4cm}n : \text{nombre entier naturel}\\ \hspace{0.4cm}T : \text{nombre réel}\\ \hspace{0.4cm}q : \text{nombre réel}\\ \text{Initialisation}\\ \hspace{0.4cm}n \text{prend la valeur }a\\ \hspace{0.4cm}T \text{prend la valeur } 42\\ \hspace{0.4cm}q \text{ prend la valeur } 0,99\\ \text{Traitement}\\ \hspace{0.4cm}\text{Tant que } \ldots \ldots\\ \hspace{0.7cm}T \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ \hspace{0.7cm}n\text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ \hspace{0.4cm}\text{Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \hspace{0.4cm}\text{Afficher } n + 300\\ \hline \end{array}$$ Recopier et compléter la partie relative au traitement.
5. Déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
6. Lorsque l'autonomie de la batterie devient inférieure à $5$ heures, on estime qu'elle ne permet plus un usage normal du smartphone. Le nombre de cycles de charge correspondant est alors appelé durée de vie de la batterie. Déterminer la durée de vie de cette batterie.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
Un smartphone est équipé d'une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d'intensité moyenne $I$ de 0,03 ampère (A). La capacité $C$ de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale d'électricité qu'elle peut emmagasiner. On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d'électricité absorbée, éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité. Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.

1. L'autonomie $T$ de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité $C$ de sa batterie et de l'intensité moyenne $I$ du courant qu'elle débite en usage normal. On estime que $T = 0,7 \times \dfrac{C}{I}$. Calculer l'autonomie $T$, en heures, de ce smartphone au cours de l'un des $300$ premiers cycles de charge.
$$T=0,7\times \dfrac{1,8}{0,03}=42$$ Au cours de l'un des 300 premiers cycles de charge l'autonomie de ce smartphone est de 42 heures.
2. On considère qu'après $300$ cycles de charge, l'autonomie de la batterie diminue de 1 % à chaque nouveau cycle de charge. Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ l'autonomie, en heures, de la batterie au bout de " $300 + n$ " cycles de charge. On admet que $T_0 = 42$.
   1. Calculer $T_1$ et $T_2$. Interpréter les résultats.
   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 1 % est $1-\dfrac{1}{100}=0,99$. D'où : $T_1=T_0\times 0,99 $ soit $T_1=42\times 0,99=41,58 $ et $T_2=T_1×0,99 $ soit $ T_2=41,58\times 0,99=41,1642$

$T_1=41,58$ et $T_2\approx 41,16$. L'autonomie de la batterie au bout de 301 et 302 cycles de charge est respectivement de 41,58 heures et 41,16 heures.
1. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ ;
$T_{n+1}=0,99 T_n$
2. Justifier que $T_n = 42 \times 0,99^n$.
$(T_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,99$ et de premier terme $T_0=42$ alors, pour tout entier $n, T_n=42\times 0,99^n.$

Exercice 1 3 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez  sur votre copie  le numéro de la question et la seule réponse choisie.
Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

1. Le temps d'attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$ (exprimé en min$^{-1}$). En moyenne une personne attend à ce péage :
   
   1. 2 min
   2. 5 min
   3. 10 min
   4. 20 min
2. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 3 + \text{i}3\sqrt{3}$ est :
   
   1. $3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   2. $6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   3. $6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   4. $- 6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
3. On considère le complexe $z = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$. Le nombre complexe $z^2$ est égal à :
   
   1. $z^2 = 2$
   2. $z^2 = 4$
   3. $z^2 =- 4$
   4. $z^2 = - 4\text{i}$

Correction de l'exercice 1 (3 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez  sur votre copie  le numéro de la question et la seule réponse choisie.
Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

1. Le temps d'attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$ (exprimé en min$^{-1}$). En moyenne une personne attend à ce péage :
   
   1. 2 min
   2. 5 min
   3. 10 min
   4. 20 min
On rappelle que si $X$ suit la loi expnentielle de paramètre $\lambda$ alors $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.
Ici le temps d'attente moyen est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,2}=5$

La bonne réponse est le b.


2. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 3 + \text{i}3\sqrt{3}$ est :
   
   1. $3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   2. $6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   3. $6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
   4. $- 6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

Forme trigonométrique de \(z =-3 + 3 \sqrt{3}i\):
Module : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{ 3^2+\left(3\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{36}=6\)
Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}=- \dfrac{ 3}{ 6} = -\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$$ Ainsi \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\) convient; on a donc: $$z=\left[6;\dfrac{2\pi}{3}\right] \text{ ou } z=6\left [\cos\left (\dfrac{2\pi}{3}\right )+i\sin\left (\dfrac{2\pi}{3}\right )\right ]$$

La forme exponentielle de \(z\) est \(z= 6\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}\)

La bonne réponse est le b.


3. On considère le complexe $z = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$. Le nombre complexe $z^2$ est égal à :
   
   1. $z^2 = 2$
   2. $z^2 = 4$
   3. $z^2 =- 4$
   4. $z^2 = - 4\text{i}$
On calcule $z^2$ : $$\begin{array}{rl} z^2&=\left( \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)^2\\ &= \sqrt{2}^2 -2\sqrt 2\times \text{i}\sqrt{2}+\text{i}^2\sqrt{2}^2\\ &= 2 - 4\text{i}-2\\ &= - 4\text{i}\end{array}$$
La bonne réponse est le d.

Exercice 2 5 points

Fonction $\ln$

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans cet exercice, ln désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = ax + b\ln (x) + 1\] où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. $C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. Les points A et E sont deux points de la courbe $C_f$. Le point A a pour coordonnées $(1~;~2)$ et le point E a pour abscisse 4. La tangente à $C_f$ au point E est horizontale.

1. Déterminer $f(1)$ et $f'(4)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
2. Calculer $f'(x)$ puis exprimer $f'(4)$ en fonction de $a$ et $b$.
3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.

Partie B

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = x - 4\ln (x) + 1\]

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.
2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f(x)$ par $x$).
3. Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le tableau des variations de $f$.

Partie C

Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture.
La forme d'une pièce est donnée sur la figure ci-contre et correspond à la zone hachurée sur le graphique de la page précédente. On souhaite déterminer la mesure de l'aire de la pièce en unité d'aire. Le point D est le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2. Les points B et C ont pour coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(2~;~0)$.

Soit la fonction $G$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[G(x) = x\ln (x) - x.\]

1. Calculer la dérivée $G'$ de $G$.
2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ donnée dans la partie B sur $]0~;~+ \infty[$.
3. Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner une valeur arrondie à $10^{-2}$.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Exercice 2 5 points

Fonction $\ln$

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans cet exercice, ln désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = ax + b\ln (x) + 1\] où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. $C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. Les points A et E sont deux points de la courbe $C_f$. Le point A a pour coordonnées $(1~;~2)$ et le point E a pour abscisse 4. La tangente à $C_f$ au point E est horizontale.

1. Déterminer $f(1)$ et $f'(4)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
Comme $A(1; 2)\in C_f$; on déduit que $f(1)= 2$
La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 4 est horizontale, donc $f'(4)=0$.
2. Calculer $f'(x)$ puis exprimer $f'(4)$ en fonction de $a$ et $b$.
Ayant $f(x) = ax + b\ln (x) + 1$, on déduit : $$f'(x)= a+b\times \dfrac{1}{x}$$ En effet $\left(\ln x\right)'= \dfrac{1}{x}$
$$f'(4)= a+\dfrac{b}{4}$$
3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
$$f(2)=1\iff a+b\ln 1 + 1 =2 \iff a+1 = 2\iff a = 1$$ $$f'(4) = 0\iff a +\dfrac{b}{4}= 0 \iff \dfrac{b}{4}= -1\iff b =-4$$

$a = 1$ et $b =-4$

Partie B

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = x - 4\ln (x) + 1\]

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0}~x+1=1\\ \lim\limits_{x \to 0}~-\ln x=+\infty \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{x \to 0}f(x)=+\infty$ Comme $\lim\limits_{x \to 0}f(x)=+\infty$ on déduit que la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $C_f$
2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f(x)$ par $x$).
On écrit $f(x) = x\left(1+ \dfrac{1}{x}- \dfrac{\ln x}{x}\right)$ On utilise la limite de référence : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0$
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~1+ \dfrac{1}{x}=1\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~- \dfrac{\ln x}{x}=0 \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{x \to+\infty}1+ \dfrac{1}{x}- \dfrac{\ln x}{x}=1$
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~x=+\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~1+ \dfrac{1}{x}- \dfrac{\ln x}{x}=1 \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to+\infty}f(x)=+\infty$

$\lim\limits_{x \to+\infty}f(x)=+\infty$
3. Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le tableau des variations de $f$.
$$\begin{array}{rl}f'(x)&= 1-\dfrac{4}{x}\\ &=\dfrac{x}{x}-\dfrac{4}{x}\\ &=\dfrac{x-4}{x} \end{array}$$ On étudie alors le signe de la dérivée sur $]0~;~+ \infty[$
On peut par exemple faire un tableau de signes:
$$\begin{array}{|l|cccccr|} \hline x &0& & & 4 & & &+\infty\\
\hline \text{ Signe de } x& 0& & + & & + && \\ \hline \text{ Signe de } x-4 && & - & 0 & + &&\\ \hline \text{ Signe de } f'(x) & \| && - & 0 &+ & & \\ \hline \end{array}$$

 


On peut aussi plus simplement remarquer que sur $]0~;~+ \infty[$, on a $x> 0$, et donc $f'(x)$ a le signe de $x-4$, on dresse alors le tableau de variations de $f$ :


Partie C


Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture.
La forme d'une pièce est donnée sur la figure ci-contre et correspond à la zone hachurée sur le graphique de la page précédente. On souhaite déterminer la mesure de l'aire de la pièce en unité d'aire. Le point D est le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2. Les points B et C ont pour coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(2~;~0)$.

Soit la fonction $G$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[G(x) = x\ln (x) - x.\]

1. Calculer la dérivée $G'$ de $G$.
$$G(x) = x\ln (x) - x=x\left( \ln x -1\right)$$ $G=uv$ , donc $G'=u'v+v'u$ $$\begin{array}{rl}G'(x)&= 1\left( \ln x -1\right) +x\times \dfrac{4}{x} \\ &= \ln x -1 +1 \\ &=\ln x \end{array}$$
2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ donnée dans la partie B sur $]0~;~+ \infty[$.
On a $$\begin{array}{rl}f(x)&= x - 4\ln (x) + 1\\ &= x+1- 4\ln x \\ &=x+1-4G'(x) \end{array}$$ Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $$\begin{array}{rl} F(x)&= \dfrac{x^2}{2}+x-4G(x)\\ &= \dfrac{x^2}{2}+x-4\left(x\ln (x) - x\right)\\ &= \dfrac{x^2}{2}+5x-4x\ln (x) \end{array}$$
3. Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner une valeur arrondie à $10^{-2}$.
D'après le grahique $C_f$ est située au desssus de l'axe des abscisses sur $[1; 2]$ , ainsi $f$ est continue et positive sur $[1; 2]$. L' aire de la piéce exprimée en unités d'aires vaut donc : $$\begin{array}{rl} A&= \int_1^2 f(x) dx\\ &= F(2)-F(1)\\ F(2)&= \dfrac{2^2}{2}+5\times 2-4\times 2\ln 2\\ &= 12-8\ln 2\\ F(1)&= \dfrac{1^2}{2}+5\times 1-4 \ln 1\\ &= \dfrac{11}{2}\\ &\\ A&= 12-8\ln 2- \dfrac{11}{2}\\ A&= \dfrac{13}{2}-8\ln 2 \\ \end{array}$$

 

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Exercice 3 4 points


Probabilités


Étude de la production de plats préparés sous vide.
Les questions 1, 2 et 3 de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$
L'entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de cette production en exploitant divers outils mathématiques.

1. Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de $400$ grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est supérieure à $394$ grammes. On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale d'espérance $400$ et d'écart type $5$.
   1. Déterminer la probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre $394$ et $404$ grammes.
   2. Déterminer la probabilité qu'un plat soit conforme.
2. Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de $300$. On arrondit la probabilité de l'évènement « un plat préparé prélevé au hasard dans la production n'est pas conforme » à $0,12$. On prélève au hasard $300$ plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $300$ plats, associe le nombre de plats préparés non conformes qu'il contient.
   1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ et en donner une interprétation.
   3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $300$ plats prélevés au hasard, au moins $280$ plats soient conformes.
3. Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de produits non conformes de 12%. On prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 1200 dans lequel $150$ plats se révèlent être non conformes.
   1. Quelle est la fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé ?
   2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille 1200 .
      Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
   3. L'échantillon est-il représentatif de la production du fabricant ? Justifier.

 

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Correction de l'exercice 3 (5 points)


Probabilités


Étude de la production de plats préparés sous vide.
Les questions 1, 2 et 3 de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$
L'entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de cette production en exploitant divers outils mathématiques.

1. Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de $400$ grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est supérieure à $394$ grammes. On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale d'espérance $400$ et d'écart type $5$.
   1. Déterminer la probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre $394$ et $404$ grammes.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   La probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre 394 et 404 grammes est 0,673.
   2. Déterminer la probabilité qu'un plat soit conforme.
   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate :

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité qu'un plat soit conforme est 0,885.
2. Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de $300$. On arrondit la probabilité de l'évènement « un plat préparé prélevé au hasard dans la production n'est pas conforme » à $0,12$. On prélève au hasard $300$ plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $300$ plats, associe le nombre de plats préparés non conformes qu'il contient.
   1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   On assimile ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,12$.
   2. Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ et en donner une interprétation.
   $E(X)=300\times 0,12=36$
   Dans un lot de 300 plats on trouve en moyenne 36 plats non conformes.
   3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $300$ plats prélevés au hasard, au moins $280$ plats soient conformes.
   L'évènement « au moins 280 plats sont conformes » est l'èvènement contraire de l'événement « 19 plats au plus ne sont pas conformes » Avec la calculatrice, on trouve : $P(X\geq 280)=1-P(X\leq 19)\approx 0,999$

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité que dans un échantillon de 300 plats prélevés au hasard, au moins 280 plats soient conformes est 0,999.
3. Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de produits non conformes de 12%. On prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 1200 dans lequel $150$ plats se révèlent être non conformes.
   1. Quelle est la fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé ?
   La frequence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé est $f=\dfrac{150}{1200}=0,125$.
   2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille 1200 .
      Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3 }$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille 1 200 est $I=[0,1010,139]$.
   3. L'échantillon est-il représentatif de la production du fabricant ? Justifier.
   La fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% donc cet échantillon est représentatif de la production du fabricant.

 

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Exercice 4 4 points


Suites

 

Étude du déficit d'une multinationale

Le déficit d'une multinationale a été de 15 millions d'euros en 2014. Devant l'ampleur de ce déficit, l'équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de $5$ millions d'euros. Jusqu'à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s'engage à ce que le déficit baisse de 8,6% tous les ans. On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la manière suivante : on note $u_n$ le déficit  en million d'euros  de cette multinationale lors de l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = 15$. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

1. 1. Montrer que $u_1 = 0,914 u_0$.
   2. Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. 1. Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel $n$ : \[0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}\]
   2. Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?
3. On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente. $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que ... faire}\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } \ldots\\ U \text{ prend la valeur } \ldots \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher } \ldots\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de $5$ millions d'euros.
   2. On suppose l'algorithme complété. Proposer une modification de l'algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de $5$ millions d'euros.
4. 1. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014 comprise, c'est-à-dire : $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}$·
   2. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.

 

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Exercice 4 4 points


Suites

Étude du déficit d'une multinationale

Le déficit d'une multinationale a été de 15 millions d'euros en 2014. Devant l'ampleur de ce déficit, l'équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de $5$ millions d'euros. Jusqu'à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s'engage à ce que le déficit baisse de 8,6% tous les ans. On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la manière suivante : on note $u_n$ le déficit  en million d'euros  de cette multinationale lors de l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = 15$. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

1. 1. Montrer que $u_1 = 0,914 u_0$.
   En 2015 le montant du déficit baisse de 8,6 % soit : $$u_1=u_0\times 1-\dfrac{8,6}{100}=u_0\times0,914$$
   Ainsi, $u_1=0,914⁢u_0$.
   2. Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
   Après deux baisses successives de 8,6 %, en 2016 le montant du déficit serait de : $$u_2=15\times0,914\times0,914\approx 12,531$$
   En 2016, le déficit serait d'environ 12,531 millions d'euros.
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   Pour tout entier $n$ on a : $u_{n+1}=u_n\times 0,914$ donc $(u_n )$ est une suite géométrique de raison 0,914.
   $(u_n )$ est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme $u_0=15$ donc :
   pour tout entier $n, u_n=15\times 0,914^n.$
2. 1. Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel $n$ : \[0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}\]
   $$\begin{array}{rll} 0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}& \iff \ln\left (0,914^n\right ) \leqslant \ln\left (\dfrac{1}{3} \right ) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante } \\ && \text{ sur } ]0; +\infty[ \\ &\iff n \ln\left (0,914 \right ) \leqslant -\ln 3 & \text{ car } \ln\left (a^n\right )=n\ln a \text{ et } \ln\left (\dfrac{1}{a} \right )=-\ln a\\ &\iff n\geq \dfrac{-\ln 3}{\ln\left (0,914 \right )}& \text{ car } 0,914< 1 \text{ ainsi } \ln\left (0,914 \right )< 0\\ \end{array}$$ Comme $\dfrac{-\ln 3}{\ln\left (0,914 \right )}\approx 12,2$ alors :
   les solutions entières de l'inéquation $0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}$ sont les entiers $n\geq 13. .$
   2. Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?
   On cherche le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation
   $$15\times 0,914^n \leqslant 5 \iff 0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}$$
   Le déficit de la multinationale sera inférieur à 5 millions d'euros à partir de 2027.
3. On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente. $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que ... faire}\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } \ldots\\ U \text{ prend la valeur } \ldots \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher } \ldots\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de $5$ millions d'euros.
   $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que } U > 5 \text{ faire }\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } N+1 \\ U \text{ prend la valeur } 0,914\times U \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher } 2014+N\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
   2. On suppose l'algorithme complété. Proposer une modification de l'algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de $5$ millions d'euros.
   $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que } U > 5 \text{ faire }\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } N+1 \\ U \text{ prend la valeur } 0,914\times U \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher « Déficit en }   2014+N \text{ »} = U\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
4. 1. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014 comprise, c'est-à-dire : $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}$·
   $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme $u_0=15 $ donc la somme des 11 premiers termes de cette suite est : $$\begin{array}{rl} u_0+u_1+u_2+\cdots +u_{10}&= \dfrac{1-\text{ Raison}^{\text{ Nombres de termes}}}{1-\text{ Raison}}\times \text{ Premier terme}\\ & \dfrac{1-0,914^{11}}{1-0,914}\times 15\\ &\approx 109,555 \end{array}$$
   En 11 ans, le déficit cumulé est d'environ 109,555 millions d'euros.
   2. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.
   $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } S \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &S \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Pour } N \text{ allant de } 1 \text{ à } 10\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} U \text{ prend la valeur } 0,914\times U \\ S \text{ prend la valeur } S+U \end{array}\\ &\text{Fin Pour}\\ &\text{ Afficher }   S &\\ \hline \end{array} $$

 

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Exercice 5 4 points


Equations différentielles


On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

• une source de tension continue $E$ de 10 V.
• une résistance $R$ de $10^5$\: $\Omega$.
• un condensateur de capacité $C$ de $10^{-6}$ F.


On note $u$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension $u$ est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde. La fonction $u$ est définie et dérivable sur $[0~;~+oo[$ ; elle vérifie l'équation différentielle suivante : \[RCu' + u = E\] où $u'$ est la fonction dérivée de $u$.


1. Justifier que l'équation différentielle est équivalente à : \[u' + 10u = 100\]
2. 1. Déterminer la forme générale $u(t)$ des solutions de cette équation différentielle.
   2. On considère qu'à l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction $u$ tel que $u(0) = 0$.
   3. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$ ainsi obtenue. En donner une interprétation.
3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $u$ qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées. On appelle $T$ le temps de charge en seconde pour que $u(T)$ soit égal à $95$% de $E$.
   1. Déterminer graphiquement le temps de charge $T$.
   2. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
   
   
4. Sans modifier les valeurs respectives de $E$ et de $C$, déterminer la valeur de $R$ afin que le temps de charge $T$ soit multiplié par $2$.

 

Exercice 5 4 points

Equations différentielles

On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

• une source de tension continue $E$ de 10 V.
• une résistance $R$ de $10^5$\: $\Omega$.
• un condensateur de capacité $C$ de $10^{-6}$ F.

On note $u$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension $u$ est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde. La fonction $u$ est définie et dérivable sur $[0~;~+oo[$ ; elle vérifie l'équation différentielle suivante : \[RCu' + u = E\] où $u'$ est la fonction dérivée de $u$.

1. Justifier que l'équation différentielle est équivalente à : \[u' + 10u = 100\]
Avec $R=10^5, C=10^{-6}$ et $R=10$, la fonction $u$ vérifie l'équation différentielle suivante : $$\begin{array}{rl} RCu' + u = E & \iff 10^5\times 10^{-6}u'+ u = 10 \\ & \iff 10^{-1}u'+ u = 10 \\ &\iff u′+10⁢u=100 \end{array}$$ Ainsi, la fonction u vérifie l'équation différentielle $u′+10⁢u=100$
2. 1. Déterminer la forme générale $u(t)$ des solutions de cette équation différentielle.
   Les solutions de l'équation différentielle $y′=a⁢y+b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb R$ par $x\mapsto k⁢e^{a⁢x}-\frac{b}{a}$, où $k$ est une constante réelle quelconque. Ici $u′+10⁢u=100 \iff u’= -10u+100$ est du type $y′=a⁢y+b$ où $a= -10$ et $b= 100$, on a $-\frac{b}{a}= -\frac{100}{-10}= 10$.
   Les solutions sur $[0;+\infty[$ de l'équation différentielle $u′=- 10⁢u+100$ sont les fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par $u(⁡t)=k⁢e^{-10t}+10 $ où $k$ est une constante réelle quelconque.
   2. On considère qu'à l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction $u$ tel que $u(0) = 0$.
   La condition $u⁡(0)=0$ équivaut à $k⁢e^0+10=0$ d'où $k=-10$
   La fonction $u$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $u(⁡t)=-10⁢e^{-10t}+10 $
   3. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$ ainsi obtenue. En donner une interprétation.
   $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{t \to +\infty}~(-10t)=-\infty\\ \lim\limits_{X \to-\infty}~e^X=0 \end{array}\right\} \quad \text{ Par composée } \lim\limits_{t \to +\infty}~e^{-10t}=0$ puis $\lim\limits_{t \to +\infty}~10-10e^{-10t}=10$
   Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty}~u(t)=10$.
   À partir d'un certain temps, la tension aux bornes du condensateur est très proche de 10 volts.
3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $u$ qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées. On appelle $T$ le temps de charge en seconde pour que $u(T)$ soit égal à $95$% de $E$.
   1. Déterminer graphiquement le temps de charge $T$.
   
   Le temps de charge T est d'environ 0,3 secondes.
   2. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
   $$\begin{array}{rl} -10⁢e^{-10t}+10 = 0,95\times 10 &\iff -10⁢e^{-10t} = -0,5 \\ &\iff ⁢e^{-10t} = 0,05 \\ &\iff \ln \left( ⁢e^{-10t}\right) = \ln(0,05 ) \\ &\iff -10t = \ln(0,05 ) \\ &\iff t = -0,1 \ln(0,05 ) \\ \end{array}$$
   Le temps de charge en seconde pour que $u⁡(T)$ soit égal à 95 % de $E$ est $t = -0,1 \ln(0,05 )$ soit environ 0,3 secondes.
4. Sans modifier les valeurs respectives de $E$ et de $C$, déterminer la valeur de $R$ afin que le temps de charge $T$ soit multiplié par $2$.
   • Soit $v$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur, la fonction $v$ vérifie l'équation différentielle suivante : $$R\times 10^{-6}⁢v′+v=10\iff v′=-\frac{10^6}{R⁢}v+\frac{10^7}{R}$$
   • Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par $v⁡(t)=k⁢e^{-\frac{10^6}{R⁢}t}+10$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
   • La condition $v(⁡0)=0$ équivaut à $k⁢e^0+10=0$ d'où $k=-10.$
   • Par conséquent, la fonction $v$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $v⁡(t)=-10e^{-\frac{10^6}{R⁢}t}+10$ Le temps de charge $T$ est multiplié par 2 pour $R$ solution de l'équation $$\begin{array}{rl} -10e^{- \frac{10^6}{R}\times 2T }+10 = 10-10 e^{-10T}&\iff e^{- \frac{10^6}{R}\times 2T } = e^{-10T}\\ &\iff - \frac{10^6}{R}\times 2T =-10T \\ &\iff \\ &\iff - \frac{10^6}{R}= -10\\ &\iff R= 2\times 10^5 \end{array}$$
Le temps de charge T est multiplié par 2 avec une résistance $R$ de $2\times 10^5\;\Omega$.

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un Q. C. M. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Dans cet exercice, on note $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse choisie.

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, A, B). L'ensemble $E$ des images des nombres complexes $z$ vérifiant la relation $|z| = 1$ est représenté en gras par :
   
2. Considérons les deux nombres complexes \[z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_2 = - \sqrt{3} + \text{i}\] où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$. Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à :
   
   1. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$
   2. $\left(1 + \sqrt{3}\right)(- 1 + \text{i})$
   3. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$
   4. $1 - \sqrt{3} + 2\text{i}$
3. Voici la représentation graphique d'une fonction $f$. Cette courbe admet les quatre asymptotes suivantes :
   • deux asymptotes horizontales d'équations respectives $y = -1$ et $y = 0$ ;
   • deux asymptotes verticales d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.
   
   Choisissez la bonne égalité :
   
   1. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$
   2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = - \infty$
   3. $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = + \infty$
   4. $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$
4. On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 5$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ dérivable sur $\mathbb R$ et de dérivée notée $y'$. Une solution de cette équation est :
   
   1. $x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}$
   2. $x \longmapsto \text{e}^{- 2x} - 5$
   3. $x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{2x} - 5}{2}$
   4. $x \longmapsto \text{e}^{2x} + 2,5$

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Correction de l'exercice 1 (4 points)


QCM

Cet exercice est un Q. C. M. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Dans cet exercice, on note $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse choisie.

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, A, B). L'ensemble $E$ des images des nombres complexes $z$ vérifiant la relation $|z| = 1$ est représenté en gras par :
   
$|z| = 1 \iff OM = 1$
L'ensemble $E$ est donc le cercle de centre $O$ de rayon 1.
Bonne réponse c.
2. Considérons les deux nombres complexes \[z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_2 = - \sqrt{3} + \text{i}\] où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$. Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à :
   
   1. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$
   2. $\left(1 + \sqrt{3}\right)(- 1 + \text{i})$
   3. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$
   4. $1 - \sqrt{3} + 2\text{i}$
L'écriture exponentielle d'un nombre complexe est $\rho e^{i\theta}$ où $\rho$ est son module et $\theta$ son argument.
• Module : $|z_2|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt 3^2+1^2}=\sqrt{4}=2 $
• Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= -\dfrac{\sqrt 3}{2 }\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r} = \dfrac{1}{ 2} \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta= \dfrac{5\pi}{6}$ convient; on a donc: $$z_2=\left[2 ; \dfrac{5\pi}{6}\right] \text{ ou } z_2=2 \left [\cos\left ( \dfrac{5\pi}{6}\right )+\text{i}\sin\left ( \dfrac{5\pi}{6}\right )\right ]= 2e^{ \text{i}\frac{ 5\pi}{6}}$$ On a alors $$\begin{array}{rl}z_1 \times z_2&=\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \times 2e^{ \text{i}\frac{ 5\pi}{6}} \\ &= 2\sqrt 2 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ 5\pi}{6}\right) }\\ &= 2\sqrt 2 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{12}+\frac{ 10\pi}{12}\right) }\\ &= 2\sqrt 2 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{13\pi}{12} \right) }\\ \end{array}$$
Bonne réponse c.
Bonne réponse c.
3. Voici la représentation graphique d'une fonction $f$. Cette courbe admet les quatre asymptotes suivantes :
   • deux asymptotes horizontales d'équations respectives $y = -1$ et $y = 0$ ;
   • deux asymptotes verticales d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.
   
   Choisissez la bonne égalité :
   
   1. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$
   2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = - \infty$
   3. $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = + \infty$
   4. $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$
Bonne réponse b.
4. On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 5$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ dérivable sur $\mathbb R$ et de dérivée notée $y'$. Une solution de cette équation est :
   
   1. $x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}$
   2. $x \longmapsto \text{e}^{- 2x} - 5$
   3. $x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{2x} - 5}{2}$
   4. $x \longmapsto \text{e}^{2x} + 2,5$
$y' + 2y = 5$ s'écrit $y'=-2y+5$; elle est donc du type $y'=ay+b$ où $a=-2$ et $b=5$;
la solution générale est $y=-\dfrac{b}{a}+ C \text{e}^{ax}$ où $C$ désigne une constante réelle quelconque.
Ici la solution générale de $y'=-2y+5$ est $y= \dfrac{5}{2}+ C \text{e}^{-2x}$ où $C$ désigne une constante réelle quelconque. $x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}= \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2} \text{e}^{-2x}$
Bonne réponse a.

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Exercice 2 (6 points)


Suites
L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique dans les habitations, $\ldots$) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers. À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5 % par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de 920 millions d'euros dans les services énergétiques.
Les résultats seront arrondis au million d'euros près

1. Déterminer le chiffre d'affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année 2015. On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre. Notons $C_n$ le chiffre d'affaires, en million d'euros, réalisé par le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année $2014 + n$.
2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire la nature de la suite $\left(C_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
3. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
4. 1. Calculer la valeur du chiffre d'affaires en 2019.
   2. Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 ? On donnera le résultat sous la forme $p %$, où $p$ est arrondi à $10^{-1}$.
5. On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
   1. On considère l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée. $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } \ldots \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}$$
   2. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros.
   3. Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par le calcul.
6. Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle de 10 % du marché des services énergétiques à l'échelle européenne. Déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires va doubler.

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Correction de l'exercice 2 (6 points)


Suites
L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique dans les habitations, $\ldots$) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers. À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5 % par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de 920 millions d'euros dans les services énergétiques.
Les résultats seront arrondis au million d'euros près

1. Déterminer le chiffre d'affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année 2015. On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre. Notons $C_n$ le chiffre d'affaires, en million d'euros, réalisé par le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année $2014 + n$.
On calcule $920 + 5\%\times 920 = 920\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)= 1,05 \times 920 = 966$
Le fournisseur ENERGIA devrait donc faire un chires d'affaires de 966 millions d'euros dans les services énergétiques pour l'année 2015.
2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire la nature de la suite $\left(C_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
$$\begin{array}{rl} C_{n+1}&= C_n+5\%C_n\\ &= Cn\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)\\ &= 1,05 C_n \end{array}$$ La suite $\left(C_n\right)$ est donc géomérique de raison $q= 1,05$ de premier $C_0= 920$.
3. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
Comme $\left(C_n\right)$ est géométrique, on a $C_n = q^n \times C_0$
$C_n = 1,05^n \times 920$
4. 1. Calculer la valeur du chiffre d'affaires en 2019.
   2019 = 2014+5; ainsi la valeur du chiffre d'affaires en 2019 est $C_5= 1,05^5\times 920 \approx 1174,18 $
   La valeur du chiffre d'affaires en 2019 est environ 1174,18 millions d'euros.
   2. Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 ? On donnera le résultat sous la forme $p\%$, où $p$ est arrondi à $10^{-1}$.
   On peut par exemple faire un tableau de proportionnalité : $$\begin{array}{|c|c|}\hline 920& 1174,18\\ \hline 1& 1+p \\ \hline \end{array}$$ On a donc $$\begin{array}{rl} \dfrac{920}{1}= \dfrac{1174,18}{1+p} & \iff 920(1+p) = 1174,18 \\ & \iff 1+ p=\dfrac{1174,18}{920} \\ & \iff p = \dfrac{1174,18}{920}-1 \\ & \iff p \approx 0,278 \\ \end{array}$$
   Le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 est environ 27,8 %.
5. On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
   1. On considère l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée. $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } \ldots \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } C < 1840 \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } 2014 + N\\ \hline \end{array}$$
   2. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros.
   Deux méthodes sont possibles :
   - On programme la suite et on regarde la table de valeurs
   - On écrit et on éxécute l'algorithme
   Dans les deux cas, on conclut que le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2029.
   3. Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par le calcul.
   On résout $C_n\geq 1840$ $$\begin{array} {l l l} C_n\geq 1840 & \iff 1,05^n \times 920 \geq 1840 & \\ & \iff 1,05^n \geq 2 &\\ & \iff \ln\left( 1,05^n\right) \geq \ln\left(2\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left(1,05 \right) \geq \ln\left(2\right) & \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,05 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 1,05 \right)>0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,05 \right)}\approx 14,2$ , donc $n\geq 15$
   Le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2029.
6. Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle de 10 % du marché des services énergétiques à l'échelle européenne. Déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires va doubler.
Notons $\Sigma_n$ le chiffe d'affaires de l'année 2014 + n:
On a $ \Sigma_{n+1} =\Sigma_n + 10\% \Sigma_n= 1,1\Sigma_n $
$(\Sigma_n)$ est donc géométrique de raison $1,1$ de premier terme $\Sigma_0= 920$ ; ainsi $ \Sigma_n=q^n\times \Sigma_0= 920\times 1,1^n$ $$\begin{array} {l l l} \Sigma_n\geq 1840 & \iff 1,1^n \times 920 \geq 1840 & \\ & \iff 1,1^n \geq 2 &\\ & \iff \ln\left( 1,1^n\right) \geq \ln\left(2\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left(1,1 \right) \geq \ln\left(2\right) & \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,1 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 1,1 \right)>0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,1 \right)}\approx 7,2$ , donc $n\geq 8$
Le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2022.


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Exercice 3 6 points


Fonctions


Un pont à une seule arche d'une longueur de 16 m enjambe une route à double circulation. La figure ci-dessous donne une vue de l'une des deux façades de ce pont (1 unité représente 1 mètre). La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5 m au-dessus de la route.
La partie de l'axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.



A-- Étude de la fonction représentée par la courbe $(\mathcal{C})$


Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par \[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O, A, B).

1. Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ : \[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]
2. En tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50 cm, quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à $10^{-1}$.
3. Montrer que la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par $f'(x) = 0,1\text{e}^{-0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-8~;~8]$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-8~;~8]$.



B-- Calculs d'aires


La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.

1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$.
2. Vérifier que l'aire de la façade exprimée en m$^2$ vaut $5\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{- 1,6}\right)$.
3. On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l'aire $S$ exprimée en m$^2$ de la surface totale à peindre ; en donner une valeur en m$^2$ approchée à $10^{-2}$ près.
4. La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m$^2$ par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction ?

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Correction de l'exercice 3 (6 points)


Fonctions

Exercice 3 6 points


Fonctions


Un pont à une seule arche d'une longueur de 16 m enjambe une route à double circulation. La figure ci-dessous donne une vue de l'une des deux façades de ce pont (1 unité représente 1 mètre). La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5 m au-dessus de la route.
La partie de l'axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.



A-- Étude de la fonction représentée par la courbe $(\mathcal{C})$


Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par \[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O, A, B).

1. Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ : \[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]
On lit $f(0)=5$ puisque le point $(0,5)$ est un point de la courbe $(\mathcal{C})$.
$$\begin{array}{rl} f(0)=4 & \iff k-0,5(e^0+e^0)=4\\ & \iff k-0,5(1+1)=4\\ & \iff k-1=4\\ & \iff k=5\\ \end{array}$$
Ainsi pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ : \[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]
2. En tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50 cm, quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à $10^{-1}$.
Avec le graphique, on voit que les véhicules motorisés évoluent dans l'intervalle $[-4;4]$, graphiquement, on voit que la hauteur minimale sur $[-4;4]$ est réalisée en $x=4$ et vaut $f(4)= 5-0,5\left(\text{e}^{0,2\times 4} + \text{e}^{-0,2\times 4}\right)= 5 -0,5\left(\text{e}^{0,8} + \text{e}^{-0,8}\right)\approx 3,66$$ Comme $3,66-0,5=3,16 $
La hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous le pont est de 3,10m$
3. Montrer que la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par $f'(x) = 0,1\text{e}^{-0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$.
$$\begin{array}{rl} f(x) & = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\\ f'(x)& = - 0,5\left(0,2\text{e}^{0,2x} -0,2 \text{e}^{-0,2x}\right)\\ & = -0,5\times 0,2 \text{e}^{0,2x} + 0,5\times 0,2 \text{e}^{-0,2x}\\ & = -0,1 \text{e}^{0,2x} + 0,1 \text{e}^{-0,2x}\\ & = 0,1 \text{e}^{-0,2x} \left(1 - \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{\text{e}^{-0,2x} }\right)\\ & = 0,1 \text{e}^{-0,2x} \left(1 - \text{e}^{0,4x} \right)\\ \end{array}$$
4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-8~;~8]$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-8~;~8]$.
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$, on déduit que $f'(x)$ a le signe de $1 - \text{e}^{0,4x}$. $$\begin{array}{rl} f'(x) =0& \iff 1 - \text{e}^{0,4x} =0\\ & \iff \text{e}^{0,4x} =1\\ & \iff \ln\left ( \text{e}^{0,4x}\right ) =\ln 1\\ & \iff 0,4x =0\\ &\iff x=0\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} f'(x) >0& \iff 1 - \text{e}^{0,4x} >0\\ & \iff -\text{e}^{0,4x} > -1\\ & \iff \text{e}^{0,4x} < 1\\ & \iff \ln\left ( \text{e}^{0,4x}\right ) < \ln 1\\ & \iff 0,4x < 0\\ &\iff x < 0\\ \end{array}$$ Tableau de variation :
$$f(-8)=f(8)=5- 0,5\left(\text{e}^{1,6} + \text{e}^{-1,6}\right)\approx 2,42$$



B-- Calculs d'aires


La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.

1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$.
$$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x =\left [ \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{0,2}+ \dfrac{\text{e}^{-0,2x}}{-0,2}\right ]_{-8}^{8}\\ & =\left [ 5\text{e}^{0,2x}-5\text{e}^{-0,2x} \right ]_{-8}^{8}\\ & =\left [ 5\left (\text{e}^{0,2x}- \text{e}^{-0,2x} \right)\right ]_{-8}^{8}\\ & 5\text{e}^{1,6}-5\text{e}^{-1,6}-\left (5\text{e}^{-1,6}-5\text{e}^{1,6}\right )\\ &=10\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right )\\ & \approx 47,51\\ \end{array}$$
$I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x =10\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right ) $
2. Vérifier que l'aire de la façade exprimée en m$^2$ vaut $5\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{- 1,6}\right)$.
L'aire d'une façade est laire du domaine délimité par la droite d'équation $y=5$, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équation $x=-8$ et $x=8$. $$\begin{array}{rl} A &= \displaystyle\int_{-8}^8 \left(5-f(x)\right)\:\text{d}x\\ 5-f(x)&= 5-\left (5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\right )\\ & = 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\\ A & =0,5 I\\ & \\ &=5\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right )\\ \end{array}$$
3. On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l'aire $S$ exprimée en m$^2$ de la surface totale à peindre ; en donner une valeur en m$^2$ approchée à $10^{-2}$ près.
L'aire des deux façades vaut donc $$S= 2A =I=10\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right )u.a.\approx 47,51 m^2$$
4. La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m$^2$ par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction ?
Il faut donc environ $\dfrac{47,51}{3}\approx 15,84 L$ de peinture.
et donc comme $\dfrac{15,84}{3}\approx 3,2 L$
4 pots de peinture de 5 litres seront nécessaires pour peindre les deux façades de ce pont.

 

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Exercice 4 4 points


Probabilités


Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

1. Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $m = 1000$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
   1. Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant 1000 )$.
   2. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?
   
   Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$. On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
2. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
   1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.
   2. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$ paquets soient refusés ?
   3. Calculer la probabilité que, parmi ces $100$ paquets, 5 ou plus soient refusés.
3. On contrôle la masse d'un échantillon de $100$ paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, $10$ paquets sont refusés.
   Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95 %$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
   L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.

---

Exercice 4 4 points


Probabilités


Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

1. Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $m = 1000$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
   1. Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant 1000 )$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   2. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?
   On calcule donc $P(X < 990)$

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   
   Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$. On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
2. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
   1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$ paquets soient refusés ?

   2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   3. Calculer la probabilité que, parmi ces $100$ paquets, 5 ou plus soient refusés.
   On calcule donc $P(X\leq 5)$

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. On contrôle la masse d'un échantillon de $100$ paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, $10$ paquets sont refusés.
   Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95 \%$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
   L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{100}=[0,026; 0,133]$$ On calcule alors la fréquence observée sur l'échantillon : $f_{obs}= \dfrac{10}{100}=0,1$. Comme $f_{obs}\in[0,026; 0,133]$ ; l'échantillon est donc représentatif.

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe $z=3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ . La forme algébrique du nombre complexe $z$ est :
   1. $-\dfrac{3\sqrt 3}{2 }+ \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   2. $\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   3. $\dfrac{3\sqrt 3}{2 }+ \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   4. $-\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
2. $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt 3$ et $z_2=\sqrt 3 -\mathrm{i}$. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1\times z_2$ est :
   1. $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $-4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$
   3. $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   4. $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$
3. Les solutions de l'équation différentielle $y''+\dfrac{1}{3}y=0$ sont de la forme :
   1. $t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3}}t^2$
   2. $t\mapsto A\cos\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)+ B\sin\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$
   3. $t\mapsto Ae^{-\sqrt{3}t}$
   4. $t\mapsto -\dfrac{1}{3}$
4. La fonction$f$ est définie sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ par $f(x)= 2+\dfrac{1}{x+1}$ La limite de cette fonction $f$ en $+\infty$ est
   1. $-\infty$
   2. $+\infty$
   3. 0
   4. 2

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe $z=3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ . La forme algébrique du nombre complexe $z$ est :
   1. $-\dfrac{3\sqrt 3}{2 }+ \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   2. $\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   3. $\dfrac{3\sqrt 3}{2 }+ \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   4. $-\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
$$\begin{array}{rl} z&=3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\\ &= 3\left(\cos\left(\frac{-\pi}{6}\right) + \mathrm{i} \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ &= 3\left( \dfrac{\sqrt 3}{2} + \mathrm{i} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\\ &=\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i} \end{array}$$
Réponse b.

2. $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt 3$ et $z_2=\sqrt 3 -\mathrm{i}$. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1\times z_2$ est :
   1. $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $-4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$
   3. $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   4. $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$
On peut traiter cette question de différentes façons ... $$\begin{array}{rl} Z=z_1\times z_2&=\left(1+\mathrm{i}\sqrt 3\right)\times \left(\sqrt 3 -\mathrm{i}\right) \\ &= \sqrt 3 -\mathrm{i} + 3\mathrm{i} +\sqrt 3\\ &= 2\sqrt 3 +2\mathrm{i} \end{array}$$

On met alors ce nombre sous forme exponentielle : $|Z| = \sqrt{ \left(2\sqrt 3\right)^2 +2^2} = \sqrt{16}=4$
Donc $Z = 4 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} +\mathrm{i}\dfrac{1}{2}\right) = 4\text{e}^{\mathrm{i}\pi/6} $
Réponse a.

3. Les solutions de l'équation différentielle $y''+\dfrac{1}{3}y=0$ sont de la forme :
   1. $t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3}}t^2$
   2. $t\mapsto A\cos\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)+ B\sin\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$
   3. $t\mapsto Ae^{-\sqrt{3}t}$
   4. $t\mapsto -\dfrac{1}{3}$
L 'équation différentielle $y''+\dfrac{1}{3}y=0$ est du type $y'' + \omega ^2 y =0$ où $\omega ^2 = \dfrac{1}{3}$; on choisit donc $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$;
La solution générale de cette équation diffdérentielle est donc $ y = A\cos\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)+ B\sin\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$

Réponse b.

4. La fonction$f$ est définie sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ par $f(x)= 2+\dfrac{1}{x+1}$
   La limite de cette fonction $f$ en $+\infty$ est
   1. $-\infty$
   2. $+\infty$
   3. 0
   4. 2
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x+1}= 0$, et donc $\lim\limits_{x \to +\infty} 2+ \dfrac{1}{x+1}= 2$

Réponse d.

Exercice 2 5 points

Equations différentielles et fonction exponentielle

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts ($mW$), s'atténue au cours de la propagation. On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres ($km$), la relation liant $P_E$ , $P_S$ et $L$ est donnée par : $P_S = P_E\times e^{-aL}$ où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre. Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

• la puissance du signal à l'entrée de la fibre est $7~ mW$ ;
• à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins $0,08~ mW$;
• pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à $0,08~ mW$.

Partie A

Le premier type de fibre de longueur 100 $km$ utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$. Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.

1. Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.
2. 1. Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x) = 7e^{-0,035x}$.
   2. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
3. 1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$
   2. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
4. 1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation?
   2. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Equations différentielles et fonction exponentielle

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts ($mW$), s'atténue au cours de la propagation. On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres ($km$), la relation liant $P_E$ , $P_S$ et $L$ est donnée par : $P_S = P_E\times e^{-aL}$ où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre. Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

• la puissance du signal à l'entrée de la fibre est $7~ mW$ ;
• à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins $0,08~ mW$;
• pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à $0,08~ mW$.

Partie A

Le coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$ donc $P_S = 7\times e^{-0,046 \times 100 }\approx 0,07$

$P_S < 0,08$ donc il sera nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie.
Pour $L= 100 km $;

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.

1. Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.
Déjà on met cette équation sous forme résolue : $y' + 0,035y = 0 \iff y'=-0,035y $ Cette équation différentielle est du type $y'= a y$ où $a= -0,035$

La solution générale de cette équation est $y= Ce^{-0,035x}$ où $C\in \mathbb R$

1. 1. Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x) = 7e^{-0,035x}$.
   $g$ est une solution de l'équation différentielle donc $g(x)= Ce^{-0,035x}$ $$\begin{array}{rl} g(0)=7 &\iff Ce^{-0,035 \times 0 }= 7\\ & \iff Ce^{ 0 }= 7\\ & \iff C = 7\\ \end{array}$$
   
   La fonction $g$ est donc bien définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x) = 7e^{-0,035x}$.
   1. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
   $a= 0,035$
   
   
   Le coefficient d'atténuation de cette fibre est $a = 0,035$.
2. 1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$
   Pour cela on étudie le signe de la dérivée. $$\begin{array}{rl} g'(x)&= 7\times \left(-0,035\right)e^{-0,035x}\\ &=-0,245e^{-0,035x}\\ \end{array}$$ On a ici utilsé la formuule de dérivation $$\left(e ^u \right)'=u'e^u$$ Etudions alors le signez de la dérivée :
   
   
   Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ et comme $-0,035<0$ on déduit $ g'(x) < 0$ ce qui prouve que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0 ;+\infty[$
   1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
   $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty } -0,035x=-\infty\\ \lim\limits_{t \to -\infty}~e ^t = 0 \end{array}\right\}$ par composée on obtient: $\lim\limits_{x \to + \infty}~g(x) =0$
   
   
   $\lim\limits_{x \to + \infty}~g(x) =0$
3. 1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation?
   Pour savoir si le signal sera encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation, on calcule $g(100) = 7e^{-0,035 \times 100}=7e^{- 3,5 }\approx 0,21$.
   
   
   Or $0,21 > 0, 08$
   
   
   Le signal sera donc encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation.
   
   1. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
On cherche le plus grand réel $x$ tel que $g(x)\leq 0, 08$ $$\begin{array}{rll} g(x)\leq 0, 08& \iff 7e^{-0,035x} \leq 0,08&\\ & \iff e^{-0,035x} \leq \dfrac{0,08}{7}&\\ & \iff \ln\left(e^{-0,035x} \right)\leq \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)& \text{ car la fonction } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0 ;+\infty[ \\ &\iff -0,035x \leq \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)&\\ &\iff x \geq \dfrac{ \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)}{-0,035}&\text{ en divisant par } -0,035 < 0\\ \end{array}$$ $$\dfrac{ \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)}{-0,035}\approx 127,76$$

La longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification est environ 128 $km$.

Exercice 3 6 points

Suites

Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil et GPL).
Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à « faible émission de CO2 » c'est à dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d'un moteur électrique) et des véhicules électriques.
Document 1 Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l'ADEME (Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d'élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux, l'ADEME prévoit d'atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d'émission de C0$_2$ par véhicule de $100 ~g/km$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Véhicules ( VP- VUL)} & \textbf{Vente 2010} & \textbf{Parc 2010}& \textbf{Prévisions Vente 2030}& \textbf{Prévisions parc 2030} \\ \hline \text{Véhicules thermiques} & 100 \% & 100 \% & 64 \% & 89 \%\\ \hline \text{Véhicules hybrides }& 0 \% & 0 \% & 24\% & 7 \%\\ \hline \text{ Véhicules électriques} & 0 \% & 0 \% & 12 \% & 4 \%\\ \hline \textbf{ Total des voitures VP et VUL} & 2,2 \text { millions}& 35 \text{ millions} & 2\text{ millions}& 35\text{ millions}\\ \hline \text{Emission moyenne de } C0_2 \text{ par véhicule}& 127 ~g/km &165 ~g/km & 49 ~g/km & 100 ~g/km\\ \hline \end{array}$$
Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textbf{Véhicules ( VP- VUL)} & \textbf{Ventes 2011} & \textbf{Ventes 2012}& \textbf{Ventes 2013}\\ \hline \text{Véhicules hybrides }& 13~600 & 27~ 730 &41~ 340\\ \hline \text{ Véhicules électriques} & 4313 & 9314 & 13 ~954\\ \hline \textbf{ Total des ventes y compris véhicules thermiques} & 2~ 204 ~ 065 & 1 ~ 898 ~ 872 & 1 ~ 790 ~ 000\\ \hline \end{array}$$

Partie A

1. Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides vendus ?
2. Selon les prévisions de l’ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO$_2$ dans le parc automobile ?

Partie B

1. Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013. $$\begin{array}{|c| c|c|}\hline \text{Véhicules ( VP- VUL)} & \text{Augmentation des ventes de véhicules} \\ \hline & \text{de 2011 à 2012} &\text{de 2012 à 2013}\\ \hline \text{Véhicules hybrides }& 103,9\% &\cdots\\ \hline \text{ Véhicules électriques} & 116 \% & 49,8\%\\ \hline \end{array}$$
Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l'automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16 % par an de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de 41 340. On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique de raison 1,16. On note un le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année 2013 + $n$.
1. Donner $u_0$.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. L'augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030 ?
2. Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030.
   Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13 954.
   1. On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16 % à partir de 2013.
      $$\begin{array}{ |c| c|c|}\hline &A &B \\ \hline 1& \text{ Année} &\text{ Prévision des ventes des voitures électriques}\\ \hline 2 & 2013 & 13954\\ \hline 3 & 2014 & 16186, 64\\ \hline 4 & 2015 & 18 776, 5024\\ \hline 5 & 2016 & 21780, 74278\\ \hline 6 & 2017 & 25265, 66163\\ \hline 7 & 2018 & 29308, 16749\\ \hline 8 & 2019 & 33997, 47429\\ \hline 9 & 2020 & 39437, 07017\\ \hline 10 & 2021 & 45747, 0014 \\ \hline 11 & 2022 & 53066, 52163\\ \hline 12 & 2023& 61557, 16509\\ \hline 13 & 2024 & 71406, 3115\\ \hline 14 & 2025 & 82831, 32134\\ \hline 15 & 2026 & 96084, 33276\\ \hline 16 & 2027 & 111457, 826\\ \hline 17 & 2028 & 129291, 0782\\ \hline 18 & 2029 & 149977, 6507\\ \hline 19 & 2030 & 173974, 0748\\ \hline \end{array}$$
      Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour compléter le tableau par « recopie vers le bas ».
   2. Ce taux d'augmentation annuel permettrait-il d'atteindre les prévisions de l'ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030 ?
3. Les professionnels de l'automobile cherchent un pourcentage d'augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d'atteindre les prévisions de l' ADEME en 2030.
   On considère l'algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{ Variables :}&\\ &\hspace{1em}u : \text{ un nombre réel} \\ &\hspace{1em}q : \text{ un nombre réel}\\ \textbf{Initialisation}&\\ & \hspace{1em}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur }173~974\\ &\hspace{1em}\text{ Affecter à } q \text{ la valeur } 1,16\\ \textbf{Traitement}&\\ & \hspace{1em}\text{ Tant que } u\leqslant 240~000 \\ &\hspace{2em} q \text{ prend la valeur } q+0,01\\ &\hspace{2em}u \text{ prend la valeur } 13 ~954 \times q^{17}\\ & \hspace{1em}\text{ Fin Tant que }\\ \textbf{Sortie}& \\ &\hspace{1em}\text{ Afficher } (q-1) \times 100\\ \hline\end{array}$$
   1. Que représente la valeur 173 974 prise par la variable u dans l'initialisation de l'algorithme ?
   2. Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci- dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.
      $$\begin{array}{|c| c|c|}\hline \text{Etapes de l'algorithme} & \text{Variables} \\ \hline & q &u\\ \hline \text{Initialisation }& 1,16 &173 ~974\\ \hline \text{ Etape 1 } & \cdots & \cdots\\ \hline \text{ Etape 2 } & \cdots & \cdots\\ \hline \cdots & \cdots & \cdots\\ \hline \end{array}$$
   3. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme ? Interpréter le résultat.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Suites

Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil et GPL).
Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à « faible émission de CO2 » c'est à dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d'un moteur électrique) et des véhicules électriques.
Document 1 Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l'ADEME (Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d'élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux, l'ADEME prévoit d'atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d'émission de C0$_2$ par véhicule de $100 ~g/km$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Véhicules ( VP- VUL)} & \textbf{Vente 2010} & \textbf{Parc 2010}& \textbf{Prévisions Vente 2030}& \textbf{Prévisions parc 2030} \\ \hline \text{Véhicules thermiques} & 100 \% & 100 \% & 64 \% & 89 \%\\ \hline \text{Véhicules hybrides }& 0 \% & 0 \% & 24\% & 7 \%\\ \hline \text{ Véhicules électriques} & 0 \% & 0 \% & 12 \% & 4 \%\\ \hline \textbf{ Total des voitures VP et VUL} & 2,2 \text { millions}& 35 \text{ millions} & 2\text{ millions}& 35\text{ millions}\\ \hline \text{Emission moyenne de } C0_2 \text{ par véhicule}& 127 ~g/km &165 ~g/km & 49 ~g/km & 100 ~g/km\\ \hline \end{array}$$
Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textbf{Véhicules ( VP- VUL)} & \textbf{Ventes 2011} & \textbf{Ventes 2012}& \textbf{Ventes 2013}\\ \hline \text{Véhicules hybrides }& 13~600 & 27~ 730 &41~ 340\\ \hline \text{ Véhicules électriques} & 4313 & 9314 & 13 ~954\\ \hline \textbf{ Total des ventes y compris véhicules thermiques} & 2~ 204 ~ 065 & 1 ~ 898 ~ 872 & 1 ~ 790 ~ 000\\ \hline \end{array}$$

Partie A

1. Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides vendus ?
Selon les prévisions de l'ADEME,en 2030 7% du parc automobile sera de type hybride, donc le nombre de véhicules hybrides vendus en 2030 sera de 24% fois 2 millions :

En 2030 24% des véhicules vendus sera de type hybride, donc le nombre de véhicules hybrides vendus en 2030 sera de 480 000.

2. Selon les prévisions de l’ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO$_2$ dans le parc automobile ?
Selon les prévisions de l’ADEME, en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO$_2$ dans le parc automobile serait de 11 %.

Partie B

1. Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013. $$\begin{array}{|c| c|c|}\hline \text{Véhicules ( VP- VUL)} & \text{Augmentation des ventes de véhicules} \\ \hline & \text{de 2011 à 2012} &\text{de 2012 à 2013}\\ \hline \text{Véhicules hybrides }& 103,9\% &\cdots\\ \hline \text{ Véhicules électriques} & 116 \% & 49,8\%\\ \hline \end{array}$$
L'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012V à 2013 est de 13610 ( 41340 - 27 7730 = 13610).
Or $\dfrac{13610}{27730}\approx 0, 4908$

Le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013 est environ de 49 %.


2. Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l'automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16 % par an de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de 41 340. On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique de raison 1,16. On note $u_n$ le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année 2013 + $n$.
   1. Donner $u_0$.
   $u_0$ est le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année 2013, daprès le tableau du document 2
   
   $u_0= 41 340$
   
   2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   Comme $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 1,16 de premier terme $u_0$; on a :
   
   $u_n= q^n \times u_0= 41 340 \times 1,16^n$
   
   3. L'augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030 ?
   Pour le savoir on calcule $u_{17}=q^{17}\times u_0= 41340\times 1,16^{17} =515414$.
   24% de 2 millions font $0,24\times 2 \times 10 ^6 = 480 000$. Comme $515414 > 480 000$
   
   L'augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettra donc d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030.
3. Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030.
   Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13 954.
   1. On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16 % à partir de 2013.
      $$\begin{array}{ |c| c|c|}\hline &A &B \\ \hline 1& \text{ Année} &\text{ Prévision des ventes des voitures électriques}\\ \hline 2 & 2013 & 13954\\ \hline 3 & 2014 & 16186, 64\\ \hline 4 & 2015 & 18 776, 5024\\ \hline 5 & 2016 & 21780, 74278\\ \hline 6 & 2017 & 25265, 66163\\ \hline 7 & 2018 & 29308, 16749\\ \hline 8 & 2019 & 33997, 47429\\ \hline 9 & 2020 & 39437, 07017\\ \hline 10 & 2021 & 45747, 0014 \\ \hline 11 & 2022 & 53066, 52163\\ \hline 12 & 2023& 61557, 16509\\ \hline 13 & 2024 & 71406, 3115\\ \hline 14 & 2025 & 82831, 32134\\ \hline 15 & 2026 & 96084, 33276\\ \hline 16 & 2027 & 111457, 826\\ \hline 17 & 2028 & 129291, 0782\\ \hline 18 & 2029 & 149977, 6507\\ \hline 19 & 2030 & 173974, 0748\\ \hline \end{array}$$
      Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour compléter le tableau par « recopie vers le bas ».
   
   
   La formule saisie en B3 est = B2* 1,16.
   
   2. Ce taux d'augmentation annuel permettrait-il d'atteindre les prévisions de l'ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030 ?
   Pour le savoir, on note $v_n$ le nombre de véhicules électriques vendus durant l'année 2013 + $n$;
   $(v_n)$ est également géométrique de raison 1,16 de premier terme $v_0= 13954$
   Alors $v_{17}= 13 954\times 1,16^{17}= 173974$
   12% de 2 millions font $0,12\times 2 \times 10 ^6 = 240 000$. Comme $173974 < 240 000 $
   
   
   L'augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules électriques ne permettra pas d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030.
4. Les professionnels de l'automobile cherchent un pourcentage d'augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d'atteindre les prévisions de l' ADEME en 2030.
   On considère l'algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{ Variables :}&\\ &\hspace{1em}u : \text{ un nombre réel} \\ &\hspace{1em}q : \text{ un nombre réel}\\ \textbf{Initialisation}&\\ & \hspace{1em}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur }173~974\\ &\hspace{1em}\text{ Affecter à } q \text{ la valeur } 1,16\\ \textbf{Traitement}&\\ & \hspace{1em}\text{ Tant que } u\leqslant 240~000 \\ &\hspace{2em} q \text{ prend la valeur } q+0,01\\ &\hspace{2em}u \text{ prend la valeur } 13 ~954 \times q^{17}\\ & \hspace{1em}\text{ Fin Tant que }\\ \textbf{Sortie}& \\ &\hspace{1em}\text{ Afficher } (q-1) \times 100\\ \hline\end{array}$$
   1. Que représente la valeur 173 974 prise par la variable u dans l'initialisation de l'algorithme ?
   La valeur 173 974 prise par la variable u, correspond au nombre de véhicules électriques vendus en 2030, si on augmente de 16 % par an la vente des véhicules électriques de 2013 à 2030.
   2. Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci- dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.
      $$\begin{array}{|c| c|c|}\hline \text{Etapes de l'algorithme} & \text{Variables} \\ \hline & q &u\\ \hline \text{Initialisation }& 1,16 &173 ~974\\ \hline \text{ Etape 1 } & \cdots & \cdots\\ \hline \text{ Etape 2 } & \cdots & \cdots\\ \hline \cdots & \cdots & \cdots\\ \hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|c| c|c|}\hline \text{Etapes de l'algorithme} & \text{Variables} \\ \hline & q &u\\ \hline \text{Initialisation }& 1,16 &173 ~974\\ \hline \text{ Etape 1 } & 1,17 & 201~306\\ \hline \text{ Etape 2 } & 1,18 & 232~ 644\\ \hline \text{ Etape 3 } & 1,19 & 268 ~532\\ \hline \end{array}$$
   
   3. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme ? Interpréter le résultat.
   La valeur afficée par l'algorithme est 19; cela signifie, qu'à 1% près pour atteidre l'objectif de l'ADEME en 2030, il faut augmenter la vente des véhicules électriques de 2013 à 2030 d'environ 19% par an.

Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près. L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1,55 litre.
A l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 1,5$ et d’écart-type $\sigma = 0,015$.

1. 1. L'une des trois figures donne la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la densité $f$ de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.
      
      

      Figure 1

      Figure 2

      Figure 3

   2. Déterminer $P(1,485\leq X\leq 1,515)$.
2. On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
   1. Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?
   2. Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
   3. Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage?
      On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de 1,55 litre.
3. Une bouteille est dite conforme si elle contient entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits. Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est 0,0077. Un supermarché achète un lot de 10 000 bouteilles.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.
   2. Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé.
      L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter?

Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près. L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1,55 litre.
A l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 1,5$ et d’écart-type $\sigma = 0,015$.

1. 1. L'une des trois figures donne la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la densité $f$ de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.
      
      

      Figure 1

      Figure 2

      Figure 3

   On sait que la courde de la densité de probabilité d'une loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma)$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$. Ici $\mu=1,5$ , donc la figure 3 est la la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la densité $f$ de cette loi normale.
   2. Déterminer $P(1,485\leq X\leq 1,515)$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

2. On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
   1. Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?
   On veut ici $$P(X=148)= \displaystyle\int_{148}^{148}f(t)\;dt= 0$$
   2. Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
   On calcule $P(1,46\leq X\leq 1,54)$

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   3. Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage?
      On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de 1,55 litre.
   On veut donc ici calculer $P(X\geq 1,55)$

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. Une bouteille est dite conforme si elle contient entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits. Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est 0,0077. Un supermarché achète un lot de 10 000 bouteilles.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.
   On calcule tout d'abord la probabilité qu'une bouteille soit non conforme  $p = 1 - P(1,46\leq X\leq 1,54)\approx 0,0077$

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   $$I_{10000}=[0,0060; 0,0094]$$
   2. Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé.
      L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter?
   On utilise la règle de décision suivante :
   • On calcule la fréquence de bouteilles non conformes sur un échantillon de 10 000 bouteilles ; ici $f_{obs}= \dfrac{90}{10 000}= 0,009$
   • Si $f_{obs}\in I_{10000}$, on affirme que l'usine OCEFRAIS n'a pas raison de s'inquiéter.
   • Si $f_{obs}\notin I_{10000}$, on affirme que l'usine OCEFRAIS n'a pas raison de s'inquiéter.
   Ici $0,009\in [0,0060; 0,0094]$, et donc l'usine OCEFRAIS n'a pas raison de s'inquiéter.