Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 11 juin 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 7 points

Equations différentielles

 

Partie A

On considère l’équation différentielle (E) : $y' + 0,0865 y = 0 $ où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

1. Résoudre cette équation.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de (E) vérifiant la condition initiale : $f(0) = 4$.

 

Partie B

Le but de cette partie est l’étude de la décroissance radioactive de l’iode 131. On considère la fonction $N$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $N(t) = 4 \text{e}^{-0,0865 t}$. On admet que $N(t)$ donne le nombre de noyaux, exprimé en millions, d’iode 131 présents dans un échantillon à l’instant $t$ exprimé en jours. On note $C$ la courbe représentative de la fonction $N$.

1. Déterminer la limite de $N(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. En donner une interprétation physique.
2. 1. Soit $N '$ la fonction dérivée de $N$. Calculer $N '(t)$ .
   2. Étudier le signe de $N '$ , puis dresser le tableau de variation de la fonction $N$.
   3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d’abscisse 0.
3. Recopier et compléter le tableau suivant :
   $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|} \hline t \text{ en jours }&0 &2& 4 &6& 8& 10& 12& 14 &16& 18& 20& 25\\\hline N(t)&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$$
   On donnera des valeurs approchées à 0,1 million.
4. Construire $T$ et $C$ dans le repère orthogonal donné en annexe 2.
5. 1. Calculer au bout de combien de jours le nombre de noyaux radioactifs est inférieur à 750000 .
   2. Retrouver ce résultat graphiquement (on laissera les traits de construction apparents).
6. Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour que le nombre de noyaux radioactifs passe de 4 millions à 2 millions, de 2 millions à 1 million, de 1 million à 500000 . Cette valeur est appelée durée de demi-vie de l’iode 131.
   

   ANNEXE 2 (À RENDRE AVEC LA COPIE)

   EXERCICE 3