Bac STI2D Métropole 18 juin 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe $z=3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ . La forme algébrique du nombre complexe $z$ est :
   1. $-\dfrac{3\sqrt 3}{2 }+ \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   2. $\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   3. $\dfrac{3\sqrt 3}{2 }+ \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
   4. $-\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i}$
$$\begin{array}{rl} z&=3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\\ &= 3\left(\cos\left(\frac{-\pi}{6}\right) + \mathrm{i} \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ &= 3\left( \dfrac{\sqrt 3}{2} + \mathrm{i} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\\ &=\dfrac{3\sqrt 3}{2 }- \dfrac{3}{2}\mathrm{i} \end{array}$$
Réponse b.

2. $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt 3$ et $z_2=\sqrt 3 -\mathrm{i}$. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1\times z_2$ est :
   1. $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $-4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$
   3. $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   4. $4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$
On peut traiter cette question de différentes façons ... $$\begin{array}{rl} Z=z_1\times z_2&=\left(1+\mathrm{i}\sqrt 3\right)\times \left(\sqrt 3 -\mathrm{i}\right) \\ &= \sqrt 3 -\mathrm{i} + 3\mathrm{i} +\sqrt 3\\ &= 2\sqrt 3 +2\mathrm{i} \end{array}$$

On met alors ce nombre sous forme exponentielle : $|Z| = \sqrt{ \left(2\sqrt 3\right)^2 +2^2} = \sqrt{16}=4$
Donc $Z = 4 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} +\mathrm{i}\dfrac{1}{2}\right) = 4\text{e}^{\mathrm{i}\pi/6} $
Réponse a.

3. Les solutions de l'équation différentielle $y''+\dfrac{1}{3}y=0$ sont de la forme :
   1. $t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3}}t^2$
   2. $t\mapsto A\cos\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)+ B\sin\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$
   3. $t\mapsto Ae^{-\sqrt{3}t}$
   4. $t\mapsto -\dfrac{1}{3}$
L 'équation différentielle $y''+\dfrac{1}{3}y=0$ est du type $y'' + \omega ^2 y =0$ où $\omega ^2 = \dfrac{1}{3}$; on choisit donc $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$;
La solution générale de cette équation diffdérentielle est donc $ y = A\cos\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)+ B\sin\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$

Réponse b.

4. La fonction$f$ est définie sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ par $f(x)= 2+\dfrac{1}{x+1}$
   La limite de cette fonction $f$ en $+\infty$ est
   1. $-\infty$
   2. $+\infty$
   3. 0
   4. 2
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x+1}= 0$, et donc $\lim\limits_{x \to +\infty} 2+ \dfrac{1}{x+1}= 2$

Réponse d.