Bac STI2D Métropole 18 juin 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Equations différentielles et fonction exponentielle

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts ($mW$), s'atténue au cours de la propagation. On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres ($km$), la relation liant $P_E$ , $P_S$ et $L$ est donnée par : $P_S = P_E\times e^{-aL}$ où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre. Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

• la puissance du signal à l'entrée de la fibre est $7~ mW$ ;
• à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins $0,08~ mW$;
• pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à $0,08~ mW$.

Partie A

Le coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$ donc $P_S = 7\times e^{-0,046 \times 100 }\approx 0,07$

$P_S < 0,08$ donc il sera nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie.
Pour $L= 100 km $;

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.

1. Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.
Déjà on met cette équation sous forme résolue : $y' + 0,035y = 0 \iff y'=-0,035y $ Cette équation différentielle est du type $y'= a y$ où $a= -0,035$

La solution générale de cette équation est $y= Ce^{-0,035x}$ où $C\in \mathbb R$

1. 1. Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x) = 7e^{-0,035x}$.
   $g$ est une solution de l'équation différentielle donc $g(x)= Ce^{-0,035x}$ $$\begin{array}{rl} g(0)=7 &\iff Ce^{-0,035 \times 0 }= 7\\ & \iff Ce^{ 0 }= 7\\ & \iff C = 7\\ \end{array}$$
   
   La fonction $g$ est donc bien définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x) = 7e^{-0,035x}$.
   1. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
   $a= 0,035$
   
   
   Le coefficient d'atténuation de cette fibre est $a = 0,035$.
2. 1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$
   Pour cela on étudie le signe de la dérivée. $$\begin{array}{rl} g'(x)&= 7\times \left(-0,035\right)e^{-0,035x}\\ &=-0,245e^{-0,035x}\\ \end{array}$$ On a ici utilsé la formuule de dérivation $$\left(e ^u \right)'=u'e^u$$ Etudions alors le signez de la dérivée :
   
   
   Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ et comme $-0,035<0$ on déduit $ g'(x) < 0$ ce qui prouve que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0 ;+\infty[$
   1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
   $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty } -0,035x=-\infty\\ \lim\limits_{t \to -\infty}~e ^t = 0 \end{array}\right\}$ par composée on obtient: $\lim\limits_{x \to + \infty}~g(x) =0$
   
   
   $\lim\limits_{x \to + \infty}~g(x) =0$
3. 1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation?
   Pour savoir si le signal sera encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation, on calcule $g(100) = 7e^{-0,035 \times 100}=7e^{- 3,5 }\approx 0,21$.
   
   
   Or $0,21 > 0, 08$
   
   
   Le signal sera donc encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation.
   
   1. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
On cherche le plus grand réel $x$ tel que $g(x)\leq 0, 08$ $$\begin{array}{rll} g(x)\leq 0, 08& \iff 7e^{-0,035x} \leq 0,08&\\ & \iff e^{-0,035x} \leq \dfrac{0,08}{7}&\\ & \iff \ln\left(e^{-0,035x} \right)\leq \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)& \text{ car la fonction } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0 ;+\infty[ \\ &\iff -0,035x \leq \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)&\\ &\iff x \geq \dfrac{ \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)}{-0,035}&\text{ en divisant par } -0,035 < 0\\ \end{array}$$ $$\dfrac{ \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)}{-0,035}\approx 127,76$$

La longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification est environ 128 $km$.