Métropole—La Réunion STI2D & STL 6 septembre 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (6 points)

Fonctions exponentielles

Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de 550000 tonnes de gravier pour la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un nouveau gisement de pierre.
Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~600]$ par : \[f(x) = \left(0,2x^2 + 30x\right)\text{e}^{- 0,01x}\] où $x$ désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

Partie A

 

1. 1. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}.\]
   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, $f'(x) = \left(0,2\times 2x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x} + \left(0,2x^2 + 30x\right) \times (-0,01)\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{f'(x)} = \left ( 0,4 x + 30 -0,002 x^2 -0,3x \right ) \text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{f'(x)} = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\text{e}^{- 0,01x}$
   2. Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, \[f'(x) = 0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}\]
   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$, $0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x} = 0,002 (-x^2 +150x -100x + 15000 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = 0,002 (-x^2 +50x + 15000 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = (-0,002 x^2 +0,1x +30 )\text{e}^{-0,01x}\\ \phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\text{e}^{- 0,01x}} = f'(x)$.
2. 1. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   On étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   
   
   2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   $f(0)=0$, $f(150)\approx 2008 $ et $f(600) \approx 223$ On dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
   
   
   3. En déduire au bout de combien de jours la masse journalière de gravier extraite sera maximale. Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
   La masse journalière de gravier extraite sera maximale au bout de 150 jours et cette masse maximale sera d'environ $ 2008 $ tonnes.
3. La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :
   
   Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. Déterminer graphiquement au bout de combien de jours elle deviendra alors inférieure à 1000 tonnes. Répondre avec la précision permise par le graphique.
Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. La masse deviendra alors inférieure à 1000 tonnes au bout de 360 jours

 

Partie B

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants:

1. 1. Que représente le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 ?
   Le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 donne une primitive de la fonction $f$. Si on appelle $F$ cette primitive, on a $F(x)= \left(- 20x^2 - 7000 x- 700000 \right)\text{e}^{- 0,01x}$.
   2. Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600 ème jour d'exploitation est donnée par : \[I= \displaystyle\int_0^{600} f(x)\:\text{d}x.\] La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de $600$ jours ?
   Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600ème jour d'exploitation est donnée par : $$I= \displaystyle\int_0^{600} f(x) \text{d} x$$
   D'après la ligne 4 du logiciel de calcul formel, $I= \displaystyle\int_0^{600} f(x) \text{d} x \approx 670007 $. Au bout de 600 jours on aura extrait environ 670007 tonnes ce qui est supérieur à 550000 tonnes, ce qui permet d'honorer la commande.
2. Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de $400$ jours. Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.
La masse extraite au bout de 400 jours est $\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x = \left [ F(x) \strut\right ]_{0}^{400} = F(400) - F(0)\\ \hphantom{\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x} = \left ( \left(- 20\times 400^2 - 7000 \times 400- 700000 \right)\text{e}^{- 0,01\times 400}\right ) - \left ( \left(- 700000 \right)\text{e}^{0}\right )\\ \hphantom{\displaystyle\int_{0}^{400} f(x) \text{d} x} = - 6700000 \text{e}^{-4} + 700000 \approx 577285 > 550000 $
Donc la commande peut être satisfaite au bout de 400 jours.