Métropole—La Réunion STI2D & STL 6 septembre 2018 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 : 4 points

Probabilités

 

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.

Partie A

 

1. Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement entre les rangées de sièges. L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$. Un passager adulte est choisi au hasard.
   1. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm est $P(48 \leqslant L \leqslant 62) \approx 0,838$.
   2. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm.

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm est $P(L > 67) \approx 0,008$.
2. Sur cet avion comportant $334$ sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65 cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement est alors égale à $0,977$. On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par une variable aléatoire $X$.
   1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
   Les paramètres de cette loi sont $n=334$ et $p=0,977$.
   2. Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $np=334\times 0,977 \approx 326$ donc, en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
   3. Calculer $P(X \geqslant 330)$. Interpréter le résultat.
   Dans un tel avion, la probabilité qu'au moins 330 personnes puissent s'asseoir confortablement est de $0,051$.

 

Partie B

Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une place se présente à l'embarquement est égale à $0,9$. La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à $335$ pour $334$ sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$. Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles. $$ \begin{array}{ |c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 &\text{ Nombre } n \text{ de places vendues} & p_n \\ \hline 2 & 353 &0,0006 \\ \hline 3 & 354 &0,0012 \\ \hline 4 & 355 &0,0023 \\ \hline 5 &356 & \\ \hline 6 &357 &0,0070 \\ \hline 7 & 358 &0,0115 \\ \hline 8 & 359 &0,0183 \\ \hline 9 & 360 &0,0280 \\ \hline 10 & 361 &0,0414 \\ \hline 11 & 362 &0,0594 \\ \hline 12 & 363 &0,0826 \\ \hline 13 & 364 &0,1116 \\ \hline 14 & 365 &0,1468 \\ \hline 15 & 366 &0,1883 \\ \hline \end{array} $$

1. Indiquer à $10^{-4}$ près la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.
On cherche une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau. Dans ce cas, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=356$ et $p=0,9$.
On cherche $p_{356}=P(Y >334)$; on trouve à la calculatrice $0,0041$. $P(Y> 334)=1-P(Y\leq 334)$.

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Puis $p_{356}=P(Y >334)\approx 1-0.9959\approx 0.0041$
2. Combien de billets au maximum la compagnie peut-elle vendre si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ % ?
On cherche donc $n$ pour que $p_n <0,025$; d'après le tableau, on peut prendre $n\leqslant 359$. Pour que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ %, la compagnie doit prendre au maximum $359$ passagers.