Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire  n^o 99-186 du 16 novembre 1999.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats
Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0002 $.

1. Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ?


2. Calculer la probabilité, à $0,001$ près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à 6000 heures.

Partie B
Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.

Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état d arche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n'est pas en état de marche après 6000 heures. On note :

• $F_{1}$ l'évènement : «la vanne $V_{1}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $F_{2}$ l'évènement : «la vanne $V_{2}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $F_{3}$ l'évènement : «la vanne $V_{3}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $E$ : l'évènement : «le circuit est en état de marche après 6000 heures ».

On admet que les évènements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à $0,3$.

1. L'arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation.
Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.
2. Démontrer que $P(E) = 0,363$.
   
3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6000  heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.

Partie C

L'industriel affirme que seulement 2 % des vannes qu'il fabrique sont défectueuses.

On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de $400$ vannes prises dans la production totale.

1. Déterminer l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable $F$,
2. On choisit $400$ vannes au hasard dans la production, on assimile ce choix à un tirage aléatoire de $400$ vannes, avec remise, dans la production.
   Parmi ces $400$ vannes, $10$ sont défectueuses. Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause au seuil de 95 %, l'affirmation de l'industriel?

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.
L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normaled'espérance $\mu = 800$ et d'écart-type $\sigma = 40$.

1. Déterminer $P(760\leqslant D \leqslant 840)$.
2. Déterminer $P(D\leqslant 880)$.
3. L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de $880$ vannes, il n'aura pas plus de 1 % de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ?

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats
Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0002 $.

1. Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ?


La durée moyenne est donnée par $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = 5~000$ heures.
2. Calculer la probabilité, à $0,001$ près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à 6000 heures.

$$\begin{array}{ll} p(\1\geq \2) & =1 -p(\1 < \2 ) \\ &= 1-\displaystyle\int_{0}^{\2} \3 \times \text{e}^{-\3 t}\:\text{d}t\\ & = 1-\left [ -\text{e}^{\3 t}\right ]_{0}^{\2} \\ & =1-\left (1 - \text{e}^{\3\times \2} \right ) \\ & = \text{e}^{-\3\times \2} \\ &=\4\\ & \approx \5 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.} \end{array}$$

$$P( \1\geq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
 

Partie B
Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.

Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état d arche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n'est pas en état de marche après 6000 heures. On note :

• $F_{1}$ l'évènement : «la vanne $V_{1}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $F_{2}$ l'évènement : «la vanne $V_{2}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $F_{3}$ l'évènement : «la vanne $V_{3}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $E$ : l'évènement : «le circuit est en état de marche après 6000 heures
  
  1. L'arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation. Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.
  
  
  2. Démontrer que $P(E) = 0,363$.
     
     
  On admet que les évènements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à $0,3$.
  $$ \begin{array}{l} p(E) &= p(F_1) + p\left(\overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3 \right) \\ & =0,3 + 0,7 \times 0,3 \times 0,3 \\ &=0,363 \end{array} $$
  3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6000  heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.
  On veut donc calculer :
  $$\begin{array} {l}p_E(F_1) = &\dfrac{p(E \cap F_1)}{p(E)} \\ &=\dfrac{p(F_1)}{p(E)} \\ &=\dfrac{0,3}{0,363} \\ & \approx 0,826 \end{array}$$

Partie C

L'industriel affirme que seulement 2 % des vannes qu'il fabrique sont défectueuses.

On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de $400$ vannes prises dans la production totale.

1. Déterminer l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable $F$,

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{400}= [0,00628 ; 0,03372]$$
2. On choisit $400$ vannes au hasard dans la production, on assimile ce choix à un tirage aléatoire de $400$ vannes, avec remise, dans la production.
   Parmi ces $400$ vannes, $10$ sont défectueuses. Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause au seuil de 95 %, l'affirmation de l'industriel?
La fréquence observée est $f = \dfrac{10}{400} = 0,025$. Donc $f \in I_{400}$.

On ne peut donc pas remettre en cause l’affirmation de l’industriel.

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.
L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normaled'espérance $\mu = 800$ et d'écart-type $\sigma = 40$.

1. Déterminer $P(760\leqslant D \leqslant 840)$.
La calculatrice nous donne : $P(760 \le D \le 840) \approx 0,683$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Déterminer $P(D\leqslant 880)$.
$P(D \le 880) = \dfrac{1}{2} + P(800 \le D \le 880) \approx 0,5 + 0,477 \approx 0,977$


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

3. L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de $880$ vannes, il n'aura pas plus de 1 % de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ?
$P(D > 880) = 1 – P(D \le 880) \approx 0,023 \approx 2,3 \%$

La probabilité que la demande dépasse les $880$ est donc environ de $2,3\%$ ce qui est supérieur au $1\%$ supposé par l’industriel. Il a donc tort.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Les quatre questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère

• les points A $(12 ; 0 ; 0)$, B $( 0 ; -15 ; 0)$, C $( 0 ; 0 ; 20)$, D $(2 ; 7 ; - 6)$, E $(7 ; 3 ; -3)$;
• le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $

1. Affirmation 1
   Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point A est : \[2x + y + 2z - 24 = 0\]
2. Affirmation 2
   Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{l c l}\\x&=&9 - 3t\\y&=&0 \\z&=&5 + 5t\end{array}\right.t\in\mathbb{R}$.
3. Affirmation 3
   La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.
4. Affirmation 4
   La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Les quatre questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée.
Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère

• les points A $(12 ; 0 ; 0)$, B $( 0 ; -15 ; 0)$, C $( 0 ; 0 ; 20)$, D $(2 ; 7 ; - 6)$, E $(7 ; 3 ; -3)$;
• le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $

1. Affirmation 1
   Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point A est : \[2x + y + 2z - 24 = 0\]

Affirmation 1 : FAUSSE

Une équation cartésienne d’un plan parallèle à $\mathscr{P}$ est de la forme : $2x+ y -2z+d=0$
Il passe par $A$ donc : $2 \times 12 + d = 0$ et $d = -24$

On obtient donc $2x+y\color{Red}{-}2z-24=0$ et non $2x+y\color{Red}{+}2z-24=0$

$~$

2. Affirmation 2
   Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{l c l}\\x&=&9 - 3t\\y&=&0 \\z&=&5 + 5t\end{array}\right.t\in\mathbb{R}$.

Affirmation 2 : VRAIE

Regardons si les coordonnées des points $A$ et $C$ vérifient l’équation fournie.

Si $t=-1$ alors $\begin{cases} x= 9 – 3 \times (-1) = 12 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times(-1) = 0 \end{cases}$. C’est bon pour le point $A$.

Si $t=3$ alors $\begin{cases} x= 9 – 3 \times 3 = 0 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times 3= 20 \end{cases}$. C’est bon pour le point $C$.

$~$

3. Affirmation 3
   La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.

Affirmation 3 : FAUSSE

$\vec{DE}(5;-4;3)$. Une équation paramétrique de $(DE)$ est donc :
$$\begin{cases} x = 2 +5t \\\\y=7-4t \qquad t \in \mathbb{R} \\\\z=-6+3t \end{cases}$$

Injectons ces équations dans celle de $\mathscr{P}$ :
$$\begin{cases} & 2(2+5t) +(7-4t)-2(-6+3t)-5=0 \\\\
& \Leftrightarrow 4 + 10t + 7 – 4t + 12 – 6t – 5 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow 11 + 12 – 5 = 0 \quad \text{impossible}
\end{cases}
$$
$~$

4. Affirmation 4
   La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).

Affirmation 4 : VRAIE

$\vec{AB}(-12;-15;0) \quad \vec{AC}(-12;0;20) \quad \vec{DE}(5;-4;3)$
$\vec{AB} $ et  $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Ce sont donc $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.

$\vec{AB}.\vec{DE} = -12 \times 5 – 15 \times (-4) + 0 = -60 + 60 = 0$
$\vec{AC}.\vec{DE} = -12 \times 5 0 + 20 \times 3 = -60 + 60 = 0$

Donc le vecteur $\vec{DE}$ est orthogonal à $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.

$~$

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0  ; 1]$ par :
\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ;  1]$, $g(x) >0$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.

La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$. On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe $(Ox)$,les droites d'équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$. $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire.

1. 1. Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1$.
   2. Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
2. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1]$ par :
   \[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]
   
   1. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$.
   2. Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0 ; 1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.

Partie B

Soit $b$ un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution.

1. Justifier l'inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique.
2. Déterminer la valeur exacte du réel $b$.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0  ; 1]$ par :
\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ;  1]$, $g(x) >0$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.

La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$. On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe $(Ox)$,les droites d'équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$. $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire.

1. 1. Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1$.
   $\mathscr{A}_1 = \displaystyle \int_0^a g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_0^a = a - \text{e}^{-a} + 1$
   $~$
   
   2. Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
   $\mathscr{A}_2 = \displaystyle \int_a^1 g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_a^1 = 1 - \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a}$
   $~$
2. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1]$ par :
   \[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]
   
   1. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$.
   La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0;1]$. Elle l’est donc aussi.
   $f’(x) = 2 + 2\text{e}^{-x} > 0$ puisque la fonction exponentielle est toujours positive.
   
   2. Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0 ; 1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
   D'après le théorème de la bijection :
   
   • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right]$.
   • $\1$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right]$.
   • $\1\left(\2\right)=\4$ et $\1\left(\3\right)=\5$
   $\1$ réalise donc une bijection de $\left[\2;\3\right]$ sur $\left[\5;\4\right]$
   $\6$ est compris entre $\5$ et $\4$,
   donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left[\2 ; \3\right]$ .
   $0,452 < \alpha < 0,453$ donc $\alpha \approx 0,45$
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
$$\begin{array}{l} \text{Les} 2 \text{ aires sont égales} &\Leftrightarrow a - \text{e}^{-a} + 1 = 1 - \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a} \\ & \Leftrightarrow 2a – 2\text{e}^{-a} + \text{e}^{-1} = 0 \\ & \Leftrightarrow f(a) = 0 \end{array} $$
Une valeur approchée de la solution est donc $0,45$.
$~$

Partie B

Soit $b$ un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution.

1. Justifier l'inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique.
Il faut que $b < g(1)$ car sinon la portion de $\mathscr{D}$ au-dessus de la droite est inférieure à $(2-g(1)) \times (1-0) = 2-(1+\text{e}^{-1} )= 1 - \text{e}^{-1}$ (aire du rectangle incluant cette portion).
L’aire de la portion de $\mathscr{D}$ sous la droite est donc supérieure à $g(1) \times (1-0) = 1 + \text{e}^{-1}$.

2. Déterminer la valeur exacte du réel $b$.
On veut que $\displaystyle \int_0^1 g(x)\text{d}x – b\times(1-0) = b \times (1-0) \Leftrightarrow \int_0^1 g(x) \text{d}x = 2b$
Par conséquent :
$$ \begin{array}{l} b &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 g(x)\text{d}x \\ & = \dfrac{1}{2} \left[ x - \text{e}^{-x} \right]_0^1 \\ &=\dfrac{1}{2}((1 - \text{e}^{-1} + 1) \\ &=\dfrac{1}{2}(2-\text{e}^{-1}) \end{array} $$

Exercice 4 5 points

Candidats n'avant pas choisi la spécialité mathématique

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme
$u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dots\\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dots\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \hline \text{ Sortie }& \text{Afficher la variable } u \\ \hline \end{array}$$

1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ?
3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline u_{n} &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &0,2063 &0,1693 &\dots&0,0102 &0,0101 \\ \hline \end{array}$$

Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.


2. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
4. Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.
   En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.

Exercice 4 5 points

Candidats n'avant pas choisi la spécialité mathématique

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme
$u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.

1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}\\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur }n+1\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \hline \text{ Sortie }& \text{Afficher la variable } u \\ \hline \end{array}$$
2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ?
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}\\ & \text{Afficher la variable } u \\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur }n+1\\ & \text{ Fin Tant que }\\\hline \end{array}$$
3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline u_{n} &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &0,2063 &0,1693 &\dots&0,0102 &0,0101 \\ \hline \end{array}$$

Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

$$\begin{array} {l}v_{n+1} &= (n+1)u_{n+1} – 1 \\ &=(n+1) \times \dfrac{n\times u_n + 1}{2(n+1)} – 1\\ &=\dfrac{n \times u_n + 1}{2} – \dfrac{2}{2} \\ &=\dfrac{n \times u_n – 1}{2} \\ &=\dfrac{1}{2} \times v_n \end{array}
$$
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Son premier terme est $v_1 = 1\times u_1 – 1 = \dfrac{1}{2}$.
$~$
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
On a donc $v_n =q^{n-1}v_1= 0,5 \times 0,5^{n-1} = 0,5^n$.
Par conséquent $u_n = \dfrac{v_n+1}{n} = \dfrac{1+0,5^n}{n}$
$~$
3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$. De plus $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.
Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = 0$
$~$
4. Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.
   En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$$\begin{array}{l} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{1+0,5^{n+1}}{n+1} – \dfrac{1 + 0,5^n}{n} \\ &= \dfrac{n+n\times 0,5^{n+1} – (n+1) – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + n \times 0,5^{n+1} – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + (0,5n-n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + (-0,5n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &= – \dfrac{1 + (0,5n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \end{array} $$
Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont positifs.
Donc $u_{n+1}-u_n <0$. La suite $(u_n)$ est par conséquent décroissante.
$~$

Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.

Variables :
$\qquad$ $n$ est un entier naturel
$\qquad$ $u$ est un réel
Initialisation :
$\qquad$ Affecter à  $n$ la valeur $1$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $1,5$
Traitement :
$\qquad$ Tant que $u \geq  0,001$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n\times u + 1}{2(n+1)}$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n+1$
$\qquad$ Fin Tant que
Sortie :
$\qquad$  Afficher la variable  $n$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.
Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

• sur l'île A : 80 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente;
• sur l'île B : 20 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 70 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d' oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année $(2013 + n)$.

Partie A - Algorithmique et conjectures
On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l'utilisateur.

$$ \begin{array}{|c|} \hline \text{ Début de l'algorithme} \\ \text{ Lire } n\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur 20}\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 10}\\ \text{ Affecter à } i \text{ la valeur 2013}\\ \text{ Afficher } i\\ \text{ Afficher } a\\ \text{ Afficher } b\\ \text{Tant que } i\leq n-1 \text{ faire }\\ \text{ Affecter à }c \text{ la valeur } (0,8a + 0,3b)\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur } (0,2a + 0,7 b)\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } c\\ \text{ Fin du Tant que }\\ \text{ Fin de l 'algorithme} \\ \hline \end{array}$$

1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.


2. On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.
   $$ \begin{array}{|c|} \hline \star\star\star \text{ Algorithme lancé } \star\star\star\\ \text{ En l'année } 2013, a \text{ prend la valeur } 20 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 10\\ \text{ En l'année } 2014, a \text{ prend la valeur } 19 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11\\ \text{ En l'année } 2015, a \text{ prend la valeur } 18,5 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,5\\ \text{ En l'année } 2016, a \text{ prend la valeur } 18,25 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,75\\ \text{ En l'année } 2017, a \text{ prend la valeur } 18,125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,875\\ \text{ En l'année } 2018. a \text{ prend la valeur } 18,0425 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,9375 \\ \text{ En l'année } 2019, a \text{ prend la valeur } 18,03125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,96875 \\ \text{ En l'année } 2020, a \text{ prend la valeur } 18,015625 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,984375 \\ \star\star\star \text{ Algorithme terminé } \star\star\star \\ \hline \end{array}$$ Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.

Partie B - Étude mathématique

On note $U_{n}$ la matrice  colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.

On admet alors que $U_{n}=M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.
2. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ : \[M^{n}= \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\ 0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n} \end{pmatrix}.\]
   On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$.


3. Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.


4. Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser? Si oui, préciser vers quelle valeur.

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.
Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

• sur l'île A : 80 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente;
• sur l'île B : 20 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 70 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d' oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année $(2013 + n)$.

Partie A - Algorithmique et conjectures
On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l'utilisateur.

$$ \begin{array}{|c|} \hline \text{ Début de l'algorithme} \\ \text{ Lire } n\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur 20}\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 10}\\ \text{ Affecter à } i \text{ la valeur 2013}\\ \text{ Afficher } i\\ \text{ Afficher } a\\ \text{ Afficher } b\\ \text{Tant que } i\leq n-1 \text{ faire }\\ \text{ Affecter à }c \text{ la valeur } (0,8a + 0,3b)\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur } (0,2a + 0,7 b)\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } c\\ \text{ Fin du Tant que }\\ \text{ Fin de l 'algorithme} \\ \hline \end{array}$$

1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.

Il faut modifier l’algorithme de la sorte :
Tant que $i <n$ faire
$\quad$ Affecter à $i$ la valeur $i+1$
$\quad$ Afficher $i$
$\quad$Affecter à $c$ la valeur $0,8a+0,3b)$
$\quad$ Afficher $c$
$\quad$ Affecter à $b$ la valeur $(0,2a+0,7b)$
$\quad$ Afficher $b$
$\quad$ Affecter à $a$ la valeur $c$
Fin du Tant que

2. On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.
   $$ \begin{array}{|c|} \hline \star\star\star \text{ Algorithme lancé } \star\star\star\\ \text{ En l'année } 2013, a \text{ prend la valeur } 20 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 10\\ \text{ En l'année } 2014, a \text{ prend la valeur } 19 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11\\ \text{ En l'année } 2015, a \text{ prend la valeur } 18,5 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,5\\ \text{ En l'année } 2016, a \text{ prend la valeur } 18,25 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,75\\ \text{ En l'année } 2017, a \text{ prend la valeur } 18,125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,875\\ \text{ En l'année } 2018. a \text{ prend la valeur } 18,0425 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,9375 \\ \text{ En l'année } 2019, a \text{ prend la valeur } 18,03125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,96875 \\ \text{ En l'année } 2020, a \text{ prend la valeur } 18,015625 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,984375 \\ \star\star\star \text{ Algorithme terminé } \star\star\star \\ \hline \end{array}$$ Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
Il semblerait que $(a_n)$ converge vers $18$ et $(b_n)$ vers $12$.

Partie B - Étude mathématique

On note $U_{n}$ la matrice  colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.

On admet alors que $U_{n}=M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$. $a_{n+1}=0,8a_n+0,3b_n \quad$ et $ \quad b_{n+1} = 0,2a_n+0,7b_n$
On peut donc prendre $M = \begin{pmatrix} 0,8&0,3 \\\\0,2&0,7 \end{pmatrix}$

2. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ : \[M^{n}= \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\ 0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n} \end{pmatrix}.\]
   On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$.


• Initialisation : $0,6+0,4 \times 0,5^1 = 0,6 + 0,2 = 0,8$.
  La propriété est donc vraie au rang $1$.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$
  $M^{n+1} = M \times M^{n}=\begin{pmatrix} 0,8&0,3 \\\\0,2&0,7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\ 0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n} \end{pmatrix}$
  Le premier coefficient de $M^{n+1}$ est donc :
  $$\begin{array} {l}& 0,8 \times (0,6 + 0,4 \times 0,5^n) + 0,3 \times (0,4 – 0,4 – 0,5^n)\\ &= 0,48 + 0,32 \times 0,5^n + 0,12 – 0,12 \times 0,5^n \\ &=0,6 + 0,2 \times 0,5^n \\ &=0,6 + 0,4 \times 0,5 \times 0,5^n \\ &=0,6 + 0,4 \times 0,5^{n+1} \end{array} $$
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant raie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
  Donc pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a bien :
  $$M^n = \begin{pmatrix} 0,6+0,4\times 0,5^n&0,6-0,6\times 0,5^n \\\\0,4-0,4\times0,5^n&0,4+0,6\times 0,5^n \end{pmatrix}$$
  $~$
3. Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.

On en déduit donc que :
$$\begin{array} {l} a_n &= (0,6+0,4\times 0,5^n)\times a_0 + (0,6-0,6\times 0,5^n)\times b_0 \\ &=(0,6 + 0,4\times 0,5^n) \times 20 + (0,6 – 0,6\times 0,5^n)\times 10 \\ &=18 – 2 \times 0,5^n \end{array}$$
4. Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser? Si oui, préciser vers quelle valeur.
$-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ et par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = 18$