Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Partie 1

On estime qu'en 2013 la population mondiale est composée de 4,6 milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que 46,1 % des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et 53,9 % en zone urbaine. En 2013, d'après la fédération internationale du diabète, 9,9 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et 6,4 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète. On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

• $R$ l'évènement : «la personne choisie habite en zone rurale » ,
• $D$ l'évènement: «la personne choisie est atteinte de diabète » .

1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
2. 1. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
   2. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu'elle habite en zone rurale ?

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 60 mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à 110 mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme «normale »  si elle est comprise entre 70 mg.dL$^{-1}$ et 110 mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre 60 et 70 mg.dL$^{-1}$ ne font pas l'objet d'un suivi particulier. On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d'établir que la probabilité qu'il soit en hyperglycémie est 0,052 à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$. On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d'un adulte d'une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun «normale»  ?
2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.

Partie 3

Afin d'estimer la proportion, pour l'année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard 10000 personnes. Dans l'échantillon étudié, 716 personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

1. À l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l'on veut obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,01 ?

Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Partie 1

On estime qu'en 2013 la population mondiale est composée de 4,6 milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que 46,1 % des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et 53,9 % en zone urbaine. En 2013, d'après la fédération internationale du diabète, 9,9 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et 6,4 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète. On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

• $R$ l'évènement : «la personne choisie habite en zone rurale » ,
• $D$ l'évènement: «la personne choisie est atteinte de diabète » .

1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.

2. 1. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(D)&=p(D\cap R)+p\left(D\cap \overline{R}\right) \\ &=0,461\times 0,064+0,539\times 0,099 &=0,082~865 &\approx 0,083 \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu'elle habite en zone rurale ?
   On veut calculer :
   $\begin{align*} p_D(R)&=\dfrac{p(D \cap R)}{p(D)} \\ &\approx\dfrac{0,461 \times 0,064}{0,083} \\ &\approx 0,355 \end{align*}$
   Remarque : On obtient environ $0,356$ quand on garde la valeur exacte trouvée à la question 2.a.
   

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 60 mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à 110 mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme «normale »  si elle est comprise entre 70 mg.dL$^{-1}$ et 110 mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre 60 et 70 mg.dL$^{-1}$ ne font pas l'objet d'un suivi particulier. On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d'établir que la probabilité qu'il soit en hyperglycémie est 0,052 à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$. On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d'un adulte d'une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun «normale»  ?
On veut calculer $P(70\leq X \leq 110)$.
On sait que $P(X > 110) = 0,052$.
Or $\mu=90$ donc $P(X<70)=P(X>110)$.
Ainsi
$\begin{align*} P(70\leq X \leq 110) &=1-P(X<70)-P(X>110) \\ &=1-0,052-0,052 \\ &=0,896 \end{align*}$

2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
On note $Z=\dfrac{X-90}{\sigma}$.
Cette variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} P(70\leq X \leq 110) =0,896 &\iff P(-20 \leq X-90 \leq 20) = 0,896\\ &\iff P\left(-\dfrac{20}{\sigma} \leq \dfrac{X-90}{\sigma} \leq \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,896 \\ &\iff P\left(-\dfrac{20}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,896 \\ &\iff 2P\left(Z \leq \dfrac{20}{\sigma}\right)-1= 0,896 \\ &\iff 2P\left(Z \leq \dfrac{20}{\sigma}\right)= 1,896 \\ &\iff P\left(Z \leq \dfrac{20}{\sigma}\right)= 0,948 \end{align*}$
Par conséquent, en utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{20}{\sigma} \approx 1,626$.
Donc $\sigma \approx \dfrac{20}{1,626}$ soit $\sigma \approx 12,3$

3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
La probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie est $P(X<60)$. À la calculatrice, pour la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu=90$ et $\sigma=12$, on trouve $P(X < 60)\approx 0,006$. La probabilité, arrondie au millième, que la personne choisie soit en hypoglycémie est 0,006.

Partie 3

Afin d'estimer la proportion, pour l'année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard 10000 personnes. Dans l'échantillon étudié, 716 personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

1. À l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
La fréquence observée est $f=\dfrac{716}{10~000}=0,071~6$
Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{10~000}&=\left[0,071~6-\dfrac{1}{\sqrt{10~000}};0,071~6+\dfrac{1}{\sqrt{10~000}} \right] \\ &=[0,061~6;0,0816] \end{align*}$

2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l'on veut obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,01 ?
On appelle $n$ la taille de l’échantillon étudié pour un caractère dont la fréquence d’apparition est $f$.
L’amplitude de l’intervalle de confiance est alors :
$\begin{align*} A&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\ &=\dfrac{2}{\sqrt{n}} \end{align*}$
On veut donc que :
$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,01 &\iff \sqrt{n}\geq \dfrac{2}{0,01} \\ &\iff \sqrt{n} \geq 200 \\ &\iff n\geq 40~000 \end{align*}$
Il faut donc interroger au moins $40~000$ personnes.

Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}.$$

1. 1. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$
   2. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
   3. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ? Prouver cette conjecture.
2. Déterminer $z_{ 2016 }$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$.
3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}.$$

1. 1. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$
   Si $z_0=2$ alors $z_1 = 1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
   $z_2=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1$
   $z_3=1-\dfrac{1}{-1}=2$
   $z_4=\dfrac{1}{2}$
   $z_5=-1$
   $z_6=2$
   $\quad$
   
   2. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
   Si $z_0=\text{i}$ alors $z_1=1-\dfrac{1}{\text{i}}=1+\text{i}$
   $z_2=1-\dfrac{1}{1+\text{i}} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}$
   $z_3=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}}=\text{i}$
   $z_4=1+\text{i}$
   $z_5=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}$
   $z_6=\text{i}$
   $\quad$
   
   3. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ? Prouver cette conjecture.
   On peut conjecturer que, pour tout entier naturel $n$, on a $z_{3n}=z_0$
   Initialisation : Si $n=0$ alors $z_{3n}=z_{3\times 0}=z_0$.
   La propriété est vraie au rang $n$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $z_{3n}=z_0$.
   $z_{3n+1}=1-\dfrac{1}{z_0}=\dfrac{z_0-1}{z_0}$
   $z_{3n+2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{z_0-1}{z_0}} = 1-\dfrac{z_0}{z_0-1}=\dfrac{-1}{z_0-1}$
   $z_{3n+3}=1-\dfrac{1}{\dfrac{-1}{z_0-1}} = 1+z_0-1=z_0$
   Par conséquent $z_{3(n+1)}=z_0$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $z_{3n}=z_0$.
   $\quad$
2. Déterminer $z_{ 2016 }$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$.
$2016=3\times 672$ donc $z_{2016}=z_0=1+\text{i}$.
$\quad$
3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
On cherche la valeur de $z_0$ telle que :
$\begin{align*} z_0=1-\dfrac{1}{z_0} &\iff \dfrac{z_0^2-z_0+1}{z_0} = 0\\ &\iff z_0^2-z_0+1=0 \text{ et } z_0\neq  0 \end{align*}$
$\Delta = -3 <0$
Il y a donc deux solutions complexes : $\dfrac{1-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
Par conséquent si $z_0 \in \left\{\dfrac{1-\text{i}\sqrt{3}}{2};\dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}\right\}$ alors $z_0=z_1$.
La suite $\left(z_n\right)$ est alors stationnaire.

Exercice 3 5 points

Probabilités et suites

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face.

1. Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face d'une pièce et 1 code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1 - a$ code le côté de la pièce A après l'avoir retournée. $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Variables :} & a, b, d, s \text{sont des entiers}\\ & i, n \text{sont des entiers supérieurs ou égaux à } 1\\ \text{Initialisation :}& a \text{ prend la valeur } 0\\ & b \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{Saisir } n\\ \text{Traitement :} & \text{Pour } i \text{ allant de 1 à } n \text{ faire }\\ &\begin{array}{|l} d \text{ prend la valeur d'un entier aléatoire compris } \\ \text{entre 1 et 6 }\\ \text{Si } d \leqslant 2\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{alors } a \text{ prend la valeur } 1 - a\\ \text{sinon Si } d \leqslant 4\\ \hspace{1.5cm}| \text{alors } b \text{ prend la valeur } 1 - b\\ \hspace{1cm}\text{FinSi }\\ \end{array}\\ \text{FinSi}\\ s \text{ prend la valeur } a + b\\ \end{array}\\ &\text{ FinPour }\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher } s\\ \hline \end{array}$$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 6 et 4. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme :
        $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{variables}&i&d&a&b&s\\ \hline \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}& & &\text{X}\\ \hline 1^{ er}\text{ passage boucle Pour}&& & & & \\ \hline 2^{ e}\text{ passage boucle Pour}& & & & & \\ \hline 3^{ e}\text{ passage boucle Pour}& && & & \\ \hline \end{array}$$
   2. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
   $\bullet~~$ $X_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face»
   $\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l'autre est du côté face»
   $\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile».
   De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
   1. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1 ou 2 pièces du côté pile.
   2. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
   3. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :
      
   4. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
   5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = - \dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
   6. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n - \dfrac{1}{2}$. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times \left(- \dfrac{1}{3}\right)^n$.
   7. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_n$. Interpréter le résultat.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Probabilités et suites

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face.

1. Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face d'une pièce et 1 code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1 - a$ code le côté de la pièce A après l'avoir retournée. $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Variables :} & a, b, d, s \text{sont des entiers}\\ & i, n \text{sont des entiers supérieurs ou égaux à } 1\\ \text{Initialisation :}& a \text{ prend la valeur } 0\\ & b \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{Saisir } n\\ \text{Traitement :} & \text{Pour } i \text{ allant de 1 à } n \text{ faire }\\ &\begin{array}{|l} d \text{ prend la valeur d'un entier aléatoire compris } \\ \text{entre 1 et 6 }\\ \text{Si } d \leqslant 2\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{alors } a \text{ prend la valeur } 1 - a\\ \text{sinon Si } d \leqslant 4\\ \hspace{1.5cm}| \text{alors } b \text{ prend la valeur } 1 - b\\ \hspace{1cm}\text{FinSi }\\ \end{array}\\ \text{FinSi}\\ s \text{ prend la valeur } a + b\\ \end{array}\\ &\text{ FinPour }\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher } s\\ \hline \end{array}$$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 6 et 4. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme : $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{variables}&i&d&a&b&s\\ \hline \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}& & &\text{X}\\ \hline 1^{ er}\text{ passage boucle Pour}&& & & & \\ \hline 2^{ e}\text{ passage boucle Pour}& & & & & \\ \hline 3^{ e}\text{ passage boucle Pour}& && & & \\ \hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{variables}&i&d&a&b&s\\ \hline \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&0&0&\text{X}\\ \hline 1^{ er}\text{ passage boucle Pour}&1&1&1&0&1\\ \hline 2^{ e}\text{ passage boucle Pour}&2&6&1&1&2\\ \hline 3^{ e}\text{ passage boucle Pour}&3&4&1&0&1\\ \hline \end{array}$$
   2. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
   A chaque étape la variable $s$ détermine le nombre de pièces se trouvant du côté pile.
   Cet algorithme permet donc bien de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile.
2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
   $\bullet~~$ $X_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face»
   $\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l'autre est du côté face»
   $\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile».
   De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
   1. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1 ou 2 pièces du côté pile.
   $P\left(X_0\right)=1$, $P\left(Y_0\right)=0$ et $P\left(Z_0\right)=0$
   $\quad$
   
   2. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
   On appelle $D$ la variable indiquant la face du dé obtenue.
   $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right)=P\left(D\in\left\{5;6\right\}\right) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
   
   3. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :
      
   Si les pièces sont du côté face alors au bout de $n$ lancers alors, au lancer $n+1$, soit les pièces sont du côté face, soit une est du côté pile et l’autre du côté face.
   Par conséquent $P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
   $\quad$
   Si, au lancer $n$, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face, alors la seule possibilité de conserver un tel état, au lancer $n+1$, est d’obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
   Donc $P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$.
   De même $P\left(Y_n\cap X_{n+1}\right) =\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Y_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$
   $\quad$
   Si, au lancer $n$, les deux pièces sont du côté pile alors, au lancer $n+1$, on ne peut avoir que deux possibilités : les deux pièces sont toujours du côté pile ou alors l’une est du côté pile et l’autre du côté face.
   Pour garder les pièces du côté pile il faut obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
   Donc $P\left(Z_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{2}{3}$
   $\quad$
   
   4. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
   Pour tout entier naturel $n$, on a $x_n+y_n+z_n=1$ donc $z_n=1-x_n-y_n$.
   $\quad$
   
   5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = - \dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
   D’après la formule des probabilité totale on a :
   $\begin{align*} y_{n+1}&=P\left(Y_{n+1}\right) \\ &=P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right) \\ &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}z_n \\ &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}\left(1-x_n-y_n\right) \\ &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3} \end{align*}$
   6. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n - \dfrac{1}{2}$. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times \left(- \dfrac{1}{3}\right)^n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} b_{n+1}&=y_{n+1}-\dfrac{1}{2} \\ &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} \\ &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{1}{6} \\ &=-\dfrac{1}{3}\left(y_n-\dfrac{1}{2}\right) \end{align*}$
   La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0=0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
   Par conséquent $b_n=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
   Et $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
   $\quad$
   
   7. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_n$. Interpréter le résultat.
   $-1<-\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=0$
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} y_n=\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
   Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre de lancers, la probabilité d’obtenir une pièce du côté pile et une du côté face est de $50\%$.
   $\quad$

Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d'une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d'un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\text{e}^{0,3t} - 1}{\text{e}^{0,3t} + 1}.$$

1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement. On admet que $t$ secondes après qu'il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d'atteindre le sol, à $v_1(t)$. On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l'arrivée n'excède pas 6 m.s$^{-1}$. Le colis risque-t-il d'être endommagé lorsque le parachute s'ouvre correctement ? Justifier.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s'ouvre pas. On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1 - \text{e}^{- 0,3t}\right).$$

1. Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s$^{-1}$.
2. Résoudre l'équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l'hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\:\text{d}t.$$
   1. Montrer que, pour tout réel $T$ de l'intervalle [0 ; 20], $d(T) = 109\left(\text{e}^{- 0,3 T} + 0,3 T - 1\right)$.
   2. Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu'il atteint le sol.
4. Déterminer un encadrement d'amplitude $0,1$~s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l'avait lâché d'une hauteur de $700$ mètres.

Correction de l'exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d'une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d'un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\text{e}^{0,3t} - 1}{\text{e}^{0,3t} + 1}.$$

1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
La fonction $v_1$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
$\begin{align*} v_1′(t)&=5\times \dfrac{0,3\text{e}^{0,3t}\left(e^{0,3t}+1\right)-0,3\text{e}^{0,3t}\left(\text{e}^{0,3t}-1\right)}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2} \\ &=5\times 0,3 \times \dfrac{\text{e}^{0,6t}+\text{e}^{0,3t}-\text{e}^{0,6t}+\text{e}^{0,3t}}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2}\\ &=1,5 \times \dfrac{2\times \text{e}^{0,3t}}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2} \\ &=3\times \dfrac{\text{e}^{0,3t}}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2} \\ &>0 \end{align*}$
La fonction exponentielle étant effectivement strictement positive sur $\mathbb R$ et donc sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
Par conséquent la fonction $v_1$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement. On admet que $t$ secondes après qu'il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d'atteindre le sol, à $v_1(t)$. On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l'arrivée n'excède pas 6 m.s$^{-1}$. Le colis risque-t-il d'être endommagé lorsque le parachute s'ouvre correctement ? Justifier.
On va donc déterminer $\lim\limits_{t \to +\infty} 5 \times \dfrac{\text{e}^{0,3t}-1}{\text{e}^{0,3t}+1}$.
$\dfrac{\text{e}^{0,3t}-1}{\text{e}^{0,3t}+1} = \dfrac{\text{e}^{0,3t}\left(1-\text{e}^{-0,3t}\right)}{\text{e}^{0,3t}\left(1+\text{e}^{-0,3t}\right)}=\dfrac{1-\text{e}^{-0,3t}}{1+\text{e}^{-0,3t}}$
Or $\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-0,3t}=0$
Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{0,3t}-1}{\text{e}^{0,3t}+1} = 5$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} v_1(t)=5$.
La fonction $v_1$ est strictement croissante et sa limite en $+\infty$ est $5$.
Par conséquent, pour tout $t \geq 0$, on a $v_1(t)\leq 5$.
Le colis ne sera donc pas endommagé lorsque le colis s’ouvre correctement.
$\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s'ouvre pas. On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1 - \text{e}^{- 0,3t}\right).$$

1. Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s$^{-1}$.
$v_2(10)=32,7\left(1-\text{e}^{-3}\right) \approx 31,1$ m.s$^{-1}$.
$\quad$
2. Résoudre l'équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
$\quad$
$\begin{align*} v_2(t)=30 &\iff 32,7\left(1-\text{e}^{-0,3t}\right) = 30 \\ &\iff 1-\text{e}^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7} \\ &\iff -\text{e}^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7}-1\\ &\iff \text{e}^{-0,3t}=\dfrac{2,7}{32,7}\\ &\iff -0,3t=\ln \dfrac{2,7}{32,7}\\ &\iff t=\dfrac{\ln \dfrac{2,7}{32,7}}{-0,3} \end{align*}$
Par conséquent $t\approx 8,3$ s.
Cela signifie qu’au bout de $8,3$ secondes environ le colis a atteint la vitesse de $30$ m.s$^{-1}$.
$\quad$
3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l'hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\:\text{d}t.$$
   1. Montrer que, pour tout réel $T$ de l'intervalle [0 ; 20], $d(T) = 109\left(\text{e}^{- 0,3 T} + 0,3 T - 1\right)$.
   
   $\begin{align*} d(T)&=\int_0^T v_2(t)\text{d}t \\ &=\int_0^T \left(32,7-32,7\text{e}^{-0,3t}\right)\text{d}t \\ &=\left[32,7t-\dfrac{32,7}{-0,3}\text{e}^{-0,3t}\right]_0^T \\ &=32,7T+109\text{e}^{-0,3T}-109 \\ &=109\left(\text{e}^{-0,3T}+0,3T-1\right) \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu'il atteint le sol.
   On veut calculer $d(20) = 109\left(\text{e}^{-6}+6-1\right) = 109\left(\text{e}^{-6}+5\right)\approx 545$ m.
   Le colis a donc parcouru environ $545$ mètres avant d’atteindre le sol.
   $\quad$
4. Déterminer un encadrement d'amplitude $0,1$~s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l'avait lâché d'une hauteur de $700$ mètres.
On veut résoudre l’équation $d(T)=700$
Soit $109\left(\text{e}^{-0,3T}+0,3T-1\right)=700$
A l’aide de la fonction table de la calculatrice on trouve $\approx 24,7 < T <24,8$.
$\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 3 pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on retourne la pièce C. Au début du jeu, les 3 pièces sont toutes du côté face.

1. Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face et 1 code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1 - a$ code l'autre côté de la pièce A. $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Variables :} &a, b, c, d, s\text{ sont des entiers naturels}\\ &i, n \text{ sont des entiers supérieurs ou égaux à } 1\\ \text{Initialisation :}&a \text{ prend la valeur }0\\ &b\text{ prend la valeur }0\\ &c \text{ prend la valeur }0\\ &\text{Saisir }n\\ \text{Traitement :} & \text{Pour }i \text{ allant de 1 à } n \text{ faire }\\ &\begin{array}{|l} d \text{ prend la valeur d'un entier aléatoire compris}\\ \text{entre 1 et }6\\ \text{ Si } d \leqslant 2\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{ alors } a \text{ prend la valeur } 1 - a\\ \text{ sinon Si } d \leqslant 4\\ \hspace{1.5cm}\begin{array}{|l} \text{ alors } b \text{ prend la valeur } 1 - b\\ \text{ sinon } c \text{ prend la valeur } 1 - c \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{ FinSi }\\ \end{array}\\ \text{ FinSi }\\ s \text{ prend la valeur } a + b + c\\ \end{array}\\ &\text{ FinPour }\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher }s\\ \hline \end{array}$$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 4 et 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme :
      $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\ \hline \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}& & & &\text{X}\\ \hline 1^{er}\text{ passage boucle Pour}& & & & & & \\ \hline 2^{ e}\text{ passage boucle Pour}& & & & & & \\ \hline 3^{ e}\text{ passage boucle Pour}& &&&&&\\ \hline \end{array}$$
   2. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
   $\bullet~~$ $X_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face »
   $\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face»
   $\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l'autre est du côté face»
   $\bullet~~$ $T_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile ».
   De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
   1. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1, 2 ou 3 pièces du côté pile.
   2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :
      
3. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\left(x_n y_n z_n t_n\right)$.
   1. Donner la matrice $U_0$.
   2. À l'aide de l'arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
5. On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,
   $$\left\lbrace \begin{array}{l} x_n = \dfrac{(- 1)^n + 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1}{8}~\\ y_n = \dfrac{- 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n - (- 1)^n \times 3 + 3}{8}\\ z_n = \dfrac{- 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n - 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}\\ t_n = \dfrac{- (- 1)^n + 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n - 3\times \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1}{8} \end{array} \right.$$
   1. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au bout de 5 lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
   2. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
      $\bullet~~$ Première affirmation : « À l'issue d'un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile ».
      $\bullet~~$ Deuxième affirmation: « Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$ ».
      $\bullet~~$ Troisième affirmation: « Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$ ».

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 3 pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on retourne la pièce C. Au début du jeu, les 3 pièces sont toutes du côté face.

1. Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face et 1 code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1 - a$ code l'autre côté de la pièce A. $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Variables :} &a, b, c, d, s\text{ sont des entiers naturels}\\ &i, n \text{ sont des entiers supérieurs ou égaux à } 1\\ \text{Initialisation :}&a \text{ prend la valeur }0\\ &b\text{ prend la valeur }0\\ &c \text{ prend la valeur }0\\ &\text{Saisir }n\\ \text{Traitement :} & \text{Pour }i \text{ allant de 1 à } n \text{ faire }\\ &\begin{array}{|l} d \text{ prend la valeur d'un entier aléatoire compris}\\ \text{entre 1 et }6\\ \text{ Si } d \leqslant 2\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{ alors } a \text{ prend la valeur } 1 - a\\ \text{ sinon Si } d \leqslant 4\\ \hspace{1.5cm}\begin{array}{|l} \text{ alors } b \text{ prend la valeur } 1 - b\\ \text{ sinon } c \text{ prend la valeur } 1 - c \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{ FinSi }\\ \end{array}\\ \text{ FinSi }\\ s \text{ prend la valeur } a + b + c\\ \end{array}\\ &\text{ FinPour }\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher }s\\ \hline \end{array}$$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 4 et 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme :
      $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\ \hline \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}& & & &\text{X}\\ \hline 1^{er}\text{ passage boucle Pour}& & & & & & \\ \hline 2^{ e}\text{ passage boucle Pour}& & & & & & \\ \hline 3^{ e}\text{ passage boucle Pour}& &&&&&\\ \hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\ \hline \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&0&0&0&\text{X}\\ \hline 1^{er}\text{ passage boucle Pour}&1&1&1&0&0&1\\ \hline 2^{ e}\text{ passage boucle Pour}&2&4&1&1&0&2\\ \hline 3^{ e}\text{ passage boucle Pour}&3&2&0&1&0&1\\ \hline \end{array}$$
   2. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
   A chaque étape la variable $s$ détermine le nombre de pièces se trouvant du côté pile.
   L’algorithme permet donc de dite si, après $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
   $\bullet~~$ $X_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face »
   $\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face»
   $\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l'autre est du côté face»
   $\bullet~~$ $T_n$ l'évènement: « À l'issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile ».
   De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
   1. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1, 2 ou 3 pièces du côté pile.
   Au début du jeu, toutes les pièces sont du côté face.
   Donc $p\left(X_0\right)=1$, $p\left(Y_0\right)=0$, $p\left(Z_0\right)=0$ et $p\left(T_0\right)=0$.
   $\quad$
   
   2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :
      
   
3. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\left(x_n y_n z_n t_n\right)$.
   1. Donner la matrice $U_0$.
   On a $U_0=\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}$
   
   2. À l'aide de l'arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
   On a $M=\begin{pmatrix}0&\dfrac{1}{3}&0&0\\1&0&\dfrac{2}{3}&0\\0&\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$
   $\quad$
4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=U_0\times M^n$
Initialisation : Si $n=0$ alors $U_0\times M^0=U_0\times I_4=U_0$ où $I_4$ est la matrice identité.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=U_0\times M^n$
$\begin{align*} U_{n+1}&=U_n\times M \\ &=U_0\times M^n\times M \\ &=U_0\times M^{n+1} \end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=U_0 \times M^n$.
$\quad$
5. On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,
   $$\left\lbrace \begin{array}{l} x_n = \dfrac{(- 1)^n + 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1}{8}~\\ y_n = \dfrac{- 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n - (- 1)^n \times 3 + 3}{8}\\ z_n = \dfrac{- 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n - 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}\\ t_n = \dfrac{- (- 1)^n + 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n - 3\times \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1}{8} \end{array} \right.$$
   1. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au bout de 5 lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
   On veut calculer $y_5=\dfrac{-3\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^5+3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^5-(-1)^5\times 3+3}{8}$
   Soit $y_5 \approx 0,753$.
   $\quad$
   
   2. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
      $\bullet~~$ Première affirmation : « À l'issue d'un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile ».
      $\bullet~~$ Deuxième affirmation: « Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$ ».
      $\bullet~~$ Troisième affirmation: « Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$ ».
   Première affirmation : fausse
   Si $n$ est pair alors $(-1)^n=1$ et $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{1}{3^n}$
   Donc $t_n=\dfrac{-1+\dfrac{3}{3^n}-\dfrac{3}{3^n}+1}{8}=0$
   $\quad$
   Deuxième affirmation : fausse
   On a vu que si $n$ est pair alors $t_n=0$
   Si $n$ est impair alors $(-1)^n=-1$ et $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=-\dfrac{1}{3^n}$
   Donc $t_n=\dfrac{1-\dfrac{3}{3^n}-\dfrac{3}{3^n}+1}{8}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3^{n-1}}}{4}<4$ si $n\geq 1$
   $\quad$
   Troisième affirmation : vraie
   $u_7\approx 0,249~66 >0,249$
   $\quad$

Exercice 1 6 points

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par $$f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.$$ On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.$$ Figure

Partie A - Étude graphique

1. Donner une interprétation graphique de $u_n$.
2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
3. Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d'amplitude $0,05$.

Partie B - Étude théorique

1. Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
2. Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.
4. On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.
   1. Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
   2. Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1].
5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
6. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   1. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $$u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.$$
   2. En déduire la valeur de $\ell$.
   3. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l'algorithme suivant. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :} &N \text{ est un entier naturel non nul}\\ \text{Variables :} &U \text{ est un nombre réel }\\ &K \text{ est un entier naturel }\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter 1 à } K\\ &\text{ Affecter } 1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right) \text{ à } U\\ &\text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N\\ \text{Traitement :} & \text{ Tant que } K < N\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } U\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } K\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$

Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par $$f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.$$ On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.$$ Figure

Partie A - Étude graphique

1. Donner une interprétation graphique de $u_n$.
$u_n$ correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
$\quad$
2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $0$.
$\quad$

3. Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d'amplitude $0,05$.

L’aire de la surface verte s’obtient comme la somme des aires de deux trapèzes et d’un triangle : $4+6+2,5=12,5$ carrés d’aire 0,01.
L’aire de la surface limitée par les axes et la ligne marron se décompose en $10,5+3+3,5=17$ aires de carrés d’aire 0,01.
On en déduit que $0,125 <u_4 < 0,17$.
On a donc $$0,12<u_4<0,17$$

Partie B - Étude théorique

1. Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
$\quad$ $$\begin{align*} u_0 &=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-(0-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ x}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\Big[\ln\left(1+\text{e}^ x\right)\Big]_0^1 \\ &=\ln(1+\text{e})-\ln 2\\ &=\ln \left(\dfrac{1+\text{e}}{2}\right) \end{align*}$$
$\quad$
2. Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
$$\begin{align*} u_0+u_1&=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-(0-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x + \int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-(1-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x\\ &=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x + \int_0^1 \dfrac{1}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 \dfrac{1+\text{e}^ {x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 1\text{d}x \\ &=\Big[x\Big]_0^1 \\ &=1-0\\ &=1 \end{align*}$$
Donc $u_1=1-u_0=1-\ln \left(\dfrac{1+\text{e}}{2}\right)$
$\quad$
3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.
La fonction exponentielle est une fonction strictement positive.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ on a $f_n(x) \geq 0$.
On intègre une fonction continue positive sur l’intervalle $[0;1]$.
Par conséquent $u_n \geq 0$.
$\quad$
4. On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.
   1. Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
   
   $$\begin{align*} d_n&=f_{n+1}(x)-f_n(x) \\ &=\dfrac{\text{e}^ {-nx}}{1+\text{e}^ x}-\dfrac{\text{e}^ {-(n-1)x}}{1+\text{e}^ x} \\ &=\dfrac{\text{e}^ {-nx}-\text{e}^ {-(n-1)x}}{1+\text{e}^ x} \\ &=\dfrac{\text{e}^ {-nx}\left(1-\text{e}^ x\right)}{1+\text{e}^ x} \\ &=e^{-nx}\dfrac{1-\text{e}^ x}{1+\text{e}^ x} \end{align*}$$
   $\quad$
   
   2. Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1].
   La fonction exponentielle est strictement positive.
   Par conséquent le signe de $d_n(x)$ ne dépend que de celui de $1-\text{e}^ x$.
   Or, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, on a $\text{e}^ x\geq 1$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $d_n(x)\leq 0$.
   Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $d_n$ est donc négative.
   $\quad$
5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$u_{n+1}-u_n=\displaystyle \int_0^1 d_n(x)\text{d}x$.
Puisque $d_n(x) \leq 0$ sur $[0;1]$, cela signifie donc que $u_{n+1}-u_n\leq 0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent décroissante.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.

6. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   1. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $$u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.$$
   
   $$\begin{align*} u_n+u_{n+1}&=\int_0^1\dfrac{\text{e}^ {-(n-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x+\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-nx}}{1+\text{e}^ x} \\ &=\int_0^1\dfrac{\text{e}^ {-(n-1)x}+\text{e}^ {-nx}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1\dfrac{\text{e}^ {-nx}\left(\text{e}^ {x}+1\right)}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 \text{e}^ {-nx}\text{d}x \\ &=\Big[-\dfrac{\text{e}^ {-nx}}{n}\Big]_0^1\\ &=-\dfrac{\text{e}^ {-n}}{n}+\dfrac{1}{n}\\ &=\dfrac{1-\text{e}^ {-n}}{n} \end{align*}$$
   $\quad$
   
   2. En déduire la valeur de $\ell$.
   D’une part $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n+u_{n+1}=2\ell$.
   D’autre part $\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^ {-n}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\text{e}^ {-n}}{n}=0$.
   Par conséquent $2\ell = 0$ et $\ell = 0$.
   $\quad$
   
   3. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l'algorithme suivant. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :} &N \text{ est un entier naturel non nul}\\ \text{Variables :} &U \text{ est un nombre réel }\\ &K \text{ est un entier naturel }\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter 1 à } K\\ &\text{ Affecter } 1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right) \text{ à } U\\ &\text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N\\ \text{Traitement :} & \text{ Tant que } K < N\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } U\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } K\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$
   On obtient l’algorithme suivant :
   Entrée :
   $\quad$ $N$ est un entier naturel non nul
   Variables :
   $\quad$ $U$ est un nombre réel
   $\quad$ $K$ est un entier naturel
   Initialisation :
   $\quad$ Affecter $1$ à $K$
   $\quad$ Affecter $1-\ln \left(\dfrac{1+\text{e}}{2}\right)$ à $U$
   $\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $N$
   Traitement :
   $\quad$ Tant que $K<N$
   $\qquad$ Affecter $\dfrac{1-\text{e}^ {-K}}{K}-U$ à $U$
   $\qquad$ Affecter $K+1$ à $K$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $U$
   $\quad$

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{B}~;~\vec{\text{BA}},\: \vec{\text{BC}},\: \vec{\text{BF}}\right)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).
2. Démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).
3. Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).
4. On note P le point d'intersection du plan (DEG) et de la droite (BH). Déduire des questions précédentes les coordonnées du point P.
5. Que représente le point P pour le triangle DEG ? Justifier la réponse.

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{B}~;~\vec{\text{BA}},\: \vec{\text{BC}},\: \vec{\text{BF}}\right)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).
Dans le repère orthonormé $\left(B;\vec{BA},\vec{BC},\vec{BF}\right)$ on a $B(0;0;0)$ et $H(1;1;1)$.
Ainsi $\vec{BH}(1;1;1)$.
Une équation paramétrique de la droite $(BH)$ est donc $\begin{cases} x=t\\y=t \qquad t\in\mathbb R\\z=t\end{cases}$.
$\quad$
2. Démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).
On a $D(1;1;0)$, $E(1;0;1)$ et $G(0;1;1)$
Ainsi $\vec{DE}(0;-1;1)$ et $\vec{DG}(-1;0;1)$.
Par conséquent $\vec{BH}.\vec{DE}=0-1+1=0$ et $\vec{BH}.\vec{DG}=-1+0+1=0$.
Les deux vecteurs $\vec{DE}$ et $\vec{DG}$ ne sont clairement pas colinéaires.
Par conséquent, le vecteur $\vec{BH}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(DEG)$ : la droite $(BH)$ est donc perpendiculaire au plan $(DEG)$.
$\quad$
3. Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).
Le vecteur $\vec{BH}$ est normal au plan $(DEG)$.
Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme : $$x+y+z+d=0$$
Le point $D$ appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient alors son équation.
Ainsi $1+1+0+d=0$ et $d=-2$.
Une équation cartésienne de $(DEG)$ est donc $x+y+z-2=0$.
$\quad$
4. On note P le point d'intersection du plan (DEG) et de la droite (BH). Déduire des questions précédentes les coordonnées du point P.
Le point $P(x;y;z)$ vérifient à la fois l’équation cartésienne du plan $(DEG)$ et l’équation paramétrique de la droite $(BH)$.
par conséquent, en injectant les équations paramétriques dans l’équation cartésienne, on obtient :
$t+t+t-2=0$ doit $t=\dfrac{2}{3}$
Cela signifie, par conséquent, que les coordonnées de $P$ sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
$\quad$
5. Que représente le point P pour le triangle DEG ? Justifier la réponse.
Montrons que $P$ est le centre de gravité du triangle $DEG$.
On appelle $I$ le milieu du segment $[DE]$
Ainsi $I\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$
Et $\vec{GI}\left(1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$
Or $\vec{GP}\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)$.
Par conséquent $\vec{GP}=\dfrac{2}{3}\vec{GI}$.
$P$ est bien le centre de gravité du triangle $DEG$.
$\quad$
Chacun des côtés du triangle $DEG$ est une diagonale d’une face du cube. Le triangle $DEG$ est donc équilatéral.
Par conséquent $P$ est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle, son orthocentre et le centre de son cercle inscrit.

Exercice 3 5 points

QCM

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$ $$(E) :\quad z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,$$ où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
   • Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\mathbb C$.
   • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
   • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
   • Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
2. Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$. Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ :
   • Le nombre $z$ est un réel positif.
   • Le nombre $z$ est égal à 1.
   • Un argument de $z$ est $\theta$.
   • Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
3. Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par $$f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.$$
   • La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$.
   • Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
   • La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
   • Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$. La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
4. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$. $0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
   • $P(X = 30)$
   • $P(X \leqslant 60)$
   • $P(X \leqslant 30)$
   • $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$ $$(E) :\quad z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,$$ où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
   • Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\mathbb C$.
   • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
   • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
   • Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
Calculons le discriminant de cette équation du second degré :
$\Delta = 4a^2-4\left(a^2+1\right) = -4$.
L’équation $(E)$ possède donc deux solutions complexes (non réelles) conjuguées (donc même module).
Pour toute valeur de $\boldsymbol{a}$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.

2. Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$. Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ :
   • Le nombre $z$ est un réel positif.
   • Le nombre $z$ est égal à 1.
   • Un argument de $z$ est $\theta$.
   • Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
On peut raisonner par élimination. Mais on peut aussi chercher la forme exponentielle de $z$.
$$\begin{align*}z&=1+\text{e}^ {\text{i} \theta} \\ &=\text{e}^ 0+\text{e}^ {\text{i} \theta} \\ &=\text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}\left(\text{e}^ {-\frac{\text{i} \theta}{2}}+\text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}\right) \\ &=2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}} \end{align*}$$
Car, pour tout réel $x$, $\cos(x)=\dfrac{\text{e}^ {\text{i} x}+\text{e}^ {-\text{i} x}}{2}$.
Puisque $\theta$ appartient à l’intervalle $]0;\pi[$ alors $\dfrac{\theta}{2}$ appartient à $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. Ainsi $2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$.
On a donc obtenu la forme exponentielle de $z$.
Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
$\quad$
3. Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par $$f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.$$
   • La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$.
   • Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
   • La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
   • Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$. La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
$f'(x)=-\text{e}^ {-x}\sin x+\text{e}^ {-x}\cos x=\text{e}^ {-x}\left(\cos(x)-\sin(x)\right)$
$f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{e}^ {-\pi/4}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 0$
Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. On a $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$.
$\quad$
4. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$. $0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
   • $P(X = 30)$
   • $P(X \leqslant 60)$
   • $P(X \leqslant 30)$
   • $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$
On a $P(X\leq 30) = 1-\text{e}^ {-0,02\times 30} \approx 0,45$.
$\boldsymbol{P(X\leq 30) \approx 0,45}$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de $n$ jours. Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

Partie A

1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
2. Déterminer $a_1$ et $b_1$.
3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
4. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
   2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
   3. Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).

Partie B

1. On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $$X_{n+1} = DX_n + B.$$
2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $Y_n = X_n - 10B$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = DY_n$.
   2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
   3. Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de $n$ jours. Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

Partie A

1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.

où on appelle $F_n$ l’événement “l’ordinateur est défaillant le jour $n$”.


2. Déterminer $a_1$ et $b_1$.
On a $a_0=0,4$ et $b_0=0,6$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$a_1=0,4\times 0,97+0,6\times 0,07 = 0,43$
Donc $b_1=1-a_1=0,57$.

3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$a_{n+1}=a_n\times 0,97+b_n\times 0,07$ et $b_{n+1}=a_n\times 0,03+b_n\times 0,93$.
$\quad$
4. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
   $AX_n=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,07b_n\\0,03a_n+0,93b_n\end{pmatrix}=X_{n+1}$
   $\quad$
   
   2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
   Initialisation : Si $n=0$, $A^0X_0=I_2X_0=X_0$ où $I_2$ est la matrice identité.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $X_n=A^nX_0$
   $X_{n+1}=AX_n=A\times A^nX_0=A^{n+1}X_0$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $X_n=A^nX_0$.
   $\quad$
   
   3. Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
   $X_{30}\approx \begin{pmatrix}0,687\\0,313\end{pmatrix}$
   Cela signifie donc, qu’au bout de $30$ jours, $68,7\%$ des ordinateurs n’ont pas de failles de sécurité.
   $\quad$

Partie B

1. On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
   A tout instant, un ordinateur présente ou ne présente pas de failles de sécurité donc $a_{n+1}+b_{n+1}=1$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $$X_{n+1} = DX_n + B.$$
   $DX_n+B=\begin{pmatrix}0,9a_n+0,07\\0,09b_n+0,03\end{pmatrix}$
   Or :
   $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,07b_n \\ &=0,97a_n+0,07\left(1-a_n\right) \\ &=0,07-0,9a_n \end{align*}$
   Et
   $\begin{align*} b_{n+1}a&=0,03a_n+0,93b_n\\ &=0,03\left(1-b_n\right)+0,93b_n \\ &=0,03+0,9b_n \end{align*}$
   Pour tout entier naturel $n$, on a $X_{n+1}=DX_n+B$.
   $\quad$
2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $Y_n = X_n - 10B$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = DY_n$.
   
   $$\begin{align*}Y_{n+1}&=X_{n+1}-10B \\ &=DX_n+B-10B\\ &=DX_n-9B\\ &=DX_n-10DB\\ &=D\left(X_n-10B\right)\\ &=DY_n \end{align*}$$
   
   2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $X_n=Y_n+10B=D^nY_0+10B=D^n\left(X_0-10B\right)+10B$
   $\quad$
   
   3. Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $D^n=\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0&0,9^n\end{pmatrix}$
   Donc $a_{n+1}=0,9^n(0,4-0,7)+0,7 = -0,3\times 0,9^n+0,7$
   Et $b_{n+1}=0,9^n(0,6-0,3)+0,3=0,3\times 0,9^n+0,3$
   $\quad$
3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?
$-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,7$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0,3$.
Sur le long terme, $70\%$ des ordinateurs seront sains et $30\%$ présenteront des failles de sécurité.

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises. Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: production de fraises

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45% dans la serre B. Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

• Proposition 1:
  La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.
• Proposition 2:
  On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit. La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

Partie B: conditionnement des fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$. La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:

1. On donne $P(X \leqslant237)=0,14$. Calculer la probabilité de l'évènement « la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes ».
2. On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.
   1. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?
   2. Démontrer que $P\left ( Y \leqslant- \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$.
   3. En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier.
3. Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.
   1. Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 250-n~;~250+n \texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.
   2. On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 230~;~m\texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises. Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: production de fraises

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45% dans la serre B. Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

• Proposition 1:
  La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.

On appelle :

• $A$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre A”;
• $B$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre B”;
• $F$ l’événement “la fleur donne un fruit”;




Proposition 1 : vraie

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B \cap F) \\ &=0,55\times 0,88 + 0,45 \times 0,84 \\ &=0,862 \end{align*}$

$\quad$

• Proposition 2:
  On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit. La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

Proposition 2 : fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(A \cap F)}{p(F)} \\ &=\dfrac{0,55 \times 0,88}{0,862} \\ & \approx 0,561 \end{align*}$

$\quad$

Partie B: conditionnement des fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$. La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:

1. On donne $P(X \leqslant237)=0,14$. Calculer la probabilité de l'évènement « la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes ».
$250-237 = 13$ et $250+13=263$. Donc $P(X \geqslant 263)=P(X \leqslant 237)=0,14$.
$\begin{align*} P(237 \leqslant X \leqslant 263)&=1-\left(P(X \leqslant 237)+P(X \geqslant 263)\right) \\ &= 1-0,28 \\ &=0,72 \end{align*}$
$\quad$
2. On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.
   1. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?
   La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que $P\left ( Y \leqslant- \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$.
   $\begin{align*} P(X \leqslant 237) = 0,14 &\iff P\left(\dfrac{X-250}{\sigma} \leqslant \dfrac{237-250}{\sigma}\right) = 0,14 \\ &\iff \iff P\left(Y{\sigma} \leqslant -\dfrac{13}{\sigma}\right) = 0,14 \end{align*}$
   
   3. En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier.
   Donc, en utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que :
   $-\dfrac{13}{\sigma} \approx -1,08$
   Par conséquent $\sigma \approx \dfrac{-1,08}{-13}$ soit $\sigma \approx 12$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.
   1. Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 250-n~;~250+n \texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.
   On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} P(250-n \leqslant X \leqslant 250+n) \geqslant 0,95 &\iff P\left(\dfrac{-n}{12} \leqslant \dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,95 \\ &\iff 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right)-1\geqslant 0,95 \\ &\iff 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 1,95 \\ &\iff P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,975 \end{align*}$
   Puisque la variable aléatoire $\dfrac{X-250}{12}$ suit la loi normale centrée réduite on trouve donc, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{n}{12} \geqslant 1,960$ soit $n \geqslant 23,52$ et donc $n \geqslant 24$.
   Remarque : On pouvait remarquer qu’on nous demandait de trouver $u_{\alpha}$ tel que $P\left(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}\right) = 1-0,05$ et d’après le cours $u_{\alpha}\approx 1,96$.
   $\quad$
   
   2. On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 230~;~m\texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.
   On veut trouver la plus petite valeur de $m$ telle que :
   $\begin{align*} P(230 \leqslant X \leqslant m) \geqslant 0,95 &\iff 1-P(X \leqslant 230)-P(X \geqslant m) \geqslant 0,95\\ &\iff P(X \leqslant m)-P(X \leqslant 230) \geqslant 0,95 \\ &\iff P(X \leqslant m)-\left(0,5-P(230 \leqslant X \leqslant 250)\right)\geqslant 0,95 \\ &\iff P(X \leqslant m)-0,047~8\geqslant 0,95 \\ &\iff P(X \leqslant m) \geqslant 0,9978 \\ &\iff m\geqslant 284,18 \end{align*}$
   La plus petite valeur de $m$ cherchée est donc environ $285$

Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1. On note $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: $$f_a(x)=a \text{e}^{ax} + a.$$ On note $I(a)$ l'intégrale de la fonction $f_a$ entre 0 et 1: $$I(a)=\displaystyle\int_0^1 f(x) \,\text{d} x.$$

1. On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$.
2. On pose dans cette question $a=1$. On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb R$ par: $$f_1(x)=\text{e}^{x} +1.$$
   1. Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.
   2. Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.
3. Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à 2? Si oui, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1. On note $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: $$f_a(x)=a \text{e}^{ax} + a.$$ On note $I(a)$ l'intégrale de la fonction $f_a$ entre 0 et 1: $$I(a)=\displaystyle\int_0^1 f(x) \,\text{d} x.$$

1. On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$.
Si $a=0$ alors $f_0(x)=0$
Par conséquent $I(0)=\displaystyle \int_0^1 f_(0)\mathrm{d}x=0$.
$\quad$
2. On pose dans cette question $a=1$. On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb R$ par: $$f_1(x)=\text{e}^{x} +1.$$
   1. Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.
   $a=1$ et $f_1(x)=\text{e}^x+1$
   On obtient ainsi la représentation suivante où $I(1)$ correspond à l’aire de la partie coloriée.
   
   
   2. Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.
   $\begin{align*} I(1) &= \displaystyle \int_0^1 \left(\text{e}^x+1\right)\mathrm{d}x \\ &=\big[\text{e}^x+x\big]_0^1 \\ &=\text{e}^1+1-1 \\ &=\text{e} \\ &\approx 2,7 \end{align*}$
   $\quad$
4. Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à 2? Si oui, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
Une primitive de $f_a$ sur $[0;1]$ est la fonction $F_a$ définie par $F_a(x)=\text{e}^{ax}+ax$ pour tout $x\in[0;1]$.
Par conséquent $I(a)=F_a(1)-F_a(0)=\text{e}^a+a-1$.
On appelle $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\text{e}^x+x-1$
$g$ est continue sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle et est strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissantes (la fonction exponentielle et une fonction affine).
$g(0)=1-1=0<2$
$g(1)=\text{e}>2$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe donc une unique solution à l’équation $g(x)=2$.
A l’aide de la calculatrice, on trouve $0,792 < \alpha < 0,80$.

Exercice 3 7 points

Commun à tous les candidats

Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20% en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100g de bactéries sont perdus. L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30kg de bactéries.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: premier modèle -- avec une suite

On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:
$u_0= 1000$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.

1. 1. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente $u_n$.
   2. L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg. A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
   3. On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme. $$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables} & u \text{ et } n \text{ sont des nombres }\\ \hline & \\ & u \text{ prend la valeur } 1000 \\ & n \text{ prend la valeur } 0\\ \text{Traitement } \hspace{0.5cm} & \text{Tant que ................ faire }\\ & \hspace{1cm} u \text{  prend la valeur .......... }\hspace{1cm}\\ & \hspace{1cm} n \text{ prend la valeur } n+1 \\ & \text{Fin Tant que }\\ & \\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher ..........}\\ \hline \end{array}$$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1000$.
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
3. On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
   2. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie B: second modèle -- avec une fonction

On constate qu'en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\texttt{[} 0;+\infty\texttt{[}$ par: $$f(t)= \dfrac{50}{1+49 \text{e}^{-0,2 t}}$$ où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.

1. 1. Calculer $f(0)$.
   2. Démontrer que, pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t) < 50$.
   3. Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
   4. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
2. Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.
3. En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg. Résoudre l'inéquation d'inconnue $t$: $f(t) > 30$. En déduire la réponse au problème.

Partie C: un contrôle de qualité

Les bactéries peuvent être de deux types: le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l'industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d'un point de vue commercial.
L'entreprise affirme que 80% des bactéries produites sont de type A.
Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de 200 bactéries en fin de production. L'analyse montre que 146 d'entre elles sont de type A. L'affirmation de l'entreprise doit-elle être remise en cause ?

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20% en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100g de bactéries sont perdus. L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30kg de bactéries.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: premier modèle -- avec une suite

On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:
$u_0= 1000$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.

1. 1. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente $u_n$.
   $1$ kg $=1~000$ g, ce qui nous donne $u_0$.
   Chaque jour la masse des bactéries augmente de $20\%$. Elle est donc multipliée chaque jour par $1,2$ d’où le terme $1,2u_n$.
   $100$ g de bactéries sont perdues chaque jour.
   Donc la masse, en grammes, des bactéries est représentée par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=1~000\\u_{n+1}=1,2u_n-100\end{cases}$.
   $\quad$
   
   2. L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg. A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
   On veut déterminer le premier rang à partir duquel $u_n > 30~000$.
   La calculatrice nous indique que $u_{22} \approx 28~103$ et $u_{23}\approx 33~623$ (on n’a cependant pas prouvé que la suite était croissante; ce qui serait à faire pour une étude rigoureuse).
   Au bout de $23$ jours la masse de bactérie dépasse $30$ kg.
   $\quad$
   
   3. On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme. $$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables} & u \text{ et } n \text{ sont des nombres }\\ \hline & \\ & u \text{ prend la valeur } 1000 \\ & n \text{ prend la valeur } 0\\ \text{Traitement } \hspace{0.5cm} & \text{Tant que ................ faire }\\ & \hspace{1cm} u \text{  prend la valeur .......... }\hspace{1cm}\\ & \hspace{1cm} n \text{ prend la valeur } n+1 \\ & \text{Fin Tant que }\\ & \\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher ..........}\\ \hline \end{array}$$
   Variables :
   $\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
   Traitement :
   $\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $u\leqslant 30$ faire
   $\qquad$ $u$ prend la valeur $1,2u-100$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1000$.
   Initialisation : si $n=0$, $u=1~000 \geqslant 1~000$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~000$
   $\begin{align*} u_{n+1} &=1,2u_n-100 \\ &\geqslant 1,2 \times 1~000-100 \\ &\geqslant 1~100 \\ &\geqslant 1~000 \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1~000$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=1,2u_n-100-u_n \\ &=0,2u_n-100 \\ &\geqslant 0,2 \times 1~000-100 \\ &\geqslant 100 \\ & \geqslant 0 \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
3. On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
   
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\ &=1,2u_n-100-500 \\ &=1,2u_n-600 \\ &=1,2\left(u_n-\dfrac{600}{1,2}\right) \\ &=1,2\left(u_n-500\right) \\ &=1,2v_n \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=u_0-500=500$.
   $\quad$
   
   2. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
   On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
   $v_n=500\times 1,2^n$
   et $u_n=v_n-500=500\times 1,2^n-500$
   $\quad$
   
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $1,2>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,2^n=+\infty$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$

Partie B: second modèle -- avec une fonction

On constate qu'en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\texttt{[} 0;+\infty\texttt{[}$ par: $$f(t)= \dfrac{50}{1+49 \text{e}^{-0,2 t}}$$ où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.

1. 1. Calculer $f(0)$.
   $f(0)=\dfrac{50}{1+49}=1$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que, pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t) < 50$.
   Pour tout réel $t\geqslant 0$ on a :
   $\begin{align*} f(t)-50 = \dfrac{50}{1+49\text{e}^{-0,2t}}-50 \\ &=50\left(\dfrac{1}{1+49\text{e}^{-0,2t}}-1\right) \\ &=50\times\dfrac{1-1-49\text{e}^{-0,2t}}{1+49\text{e}^{-0,2t}} \\ &=\dfrac{-50\times 49\text{e}^{-0,2t}}{1+49\text{e}^{-0,2t}} \end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ donc $f(t)-50 < 0$ sur $[0;+\infty[$ soit $f(t) <50$ pour tout $t \geqslant 0$.
   $\quad$
   
   3. Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
   Sur $[0;+\infty[$, la fonction $t \to -0,2t$ est strictement décroissante.
   Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ la fonction $t \to 1+49\text{e}^{-0,2t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   Remarque : On pouvait évidemment étudier le signe de la dérivée mais c’était pour changer

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de « coin de cube», les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie. Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère $\left (\text{O}\,;\,\vec{\text{OA}},\,\vec{\text{OB}},\,\vec{\text{OC}} \right )$ soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l'exercice. Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.
Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises):

• lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~b~;~- c)$;
• lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(-a~;~b~;~c)$ ;
• lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~- b~;~c)$ ;
  
  

Vue en perspective cavalière de la réflexion d’un rayon lumineux sur le plan $(OAB)$

1. Propriété des catadioptres
   En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial.

Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{v_1}\,(-2~;~-1~;~-1)$ qui vient frapper le plan (OAB) au point I$_1\,(2~;~3~;~0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v_2}\,(-2~;~-1~;~1)$ et passant par le point I$_1$.

2. Réflexion de $d_2$ sur le plan (OBC)
   
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$.
   2. Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan.
   3. Soit I$_2$ le point de coordonnées $(0~;~2~;~1)$.
      Vérifier que le plan (OBC) et la droite $d_2$ sont sécants en I$_2$.
   On note $d_3$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC). $d_3$ est donc la droite de vecteur directeur $\vec{v_3}\,(2~;~-1~;~1)$ passant par le point I$_2\,(0~;~2~;~1)$.
3. Rélexion de $d_3$ sur le plan (OAC)
   Calculer les coordonnées du point d'intersection I$_3$ de la droite $d_3$ avec le plan (OAC). On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droite $d_1$.
4. Etude du trajet de la lumière
   On donne le vecteur $\vec{u}\,(1~;~-2~;~0)$, et on note $\mathcal P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
   1. Démontrer que le vecteur $\vec u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$.
   2. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan?
   3. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan?

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de « coin de cube», les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie. Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère $\left (\text{O}\,;\,\vec{\text{OA}},\,\vec{\text{OB}},\,\vec{\text{OC}} \right )$ soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l'exercice. Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.
Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises):

• lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~b~;~- c)$;
• lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(-a~;~b~;~c)$ ;
• lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~- b~;~c)$ ;
  
  

Vue en perspective cavalière de la réflexion d’un rayon lumineux sur le plan $(OAB)$

1. Propriété des catadioptres
   En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial.
On considère un vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ d’un rayon.
Un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAB)$ est $\vec{v_1}(a;b-c)$.
Un vecteur directeur du rayon réfléchi ensuite par le plan $(OBC)$ est $\vec{v_2}(-a;b;-c)$.
Enfin un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAC)$ est $\vec{v_3}(-a;-b-;-c)$.
$\vec{v_3}=-\vec{v}$
Le rayon final est donc parallèle au rayon initial.
$\quad$

Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{v_1}\,(-2~;~-1~;~-1)$ qui vient frapper le plan (OAB) au point I$_1\,(2~;~3~;~0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v_2}\,(-2~;~-1~;~1)$ et passant par le point I$_1$.

2. Réflexion de $d_2$ sur le plan (OBC)
   
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$.
   Une représentation paramétrique de la droite $d_2$ est :
   $\begin{cases} x=2-2t\\y=3-t \quad t\in \mathbb R \\z=t \end{cases}$
   $\quad$
   
   2. Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan.
   Un vecteur normal au plan $(OBC)$ est $\vec{OA}(1;0;0)$.
   Une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
   Puisque $O$ appartient à ce plan on a $d=0$ et par conséquent une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est $x=0$.
   $\quad$
   
   3. Soit I$_2$ le point de coordonnées $(0~;~2~;~1)$.
      Vérifier que le plan (OBC) et la droite $d_2$ sont sécants en I$_2$.
   Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $d_2$ on obtient $\begin{cases} x=0\\y=2\\z=1\end{cases}$. Donc le point $I_2$ appartient bien à $d_2$.
   L’abscisse de $I_2$ vaut $0$. $I_2$ appartient donc également au plan $(OBC)$.
   $\vec{OA}$ et $\vec{v_2}$ ne sont clairement pas colinéaires : la droite et le plan ne sont pas parallèles.
   Par conséquent la droite $d_2$ et le plan $(OBC)$ sont sécants en $I_2$.
   $\quad$
   On note $d_3$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC). $d_3$ est donc la droite de vecteur directeur $\vec{v_3}\,(2~;~-1~;~1)$ passant par le point I$_2\,(0~;~2~;~1)$.
3. Rélexion de $d_3$ sur le plan (OAC)
   Calculer les coordonnées du point d'intersection I$_3$ de la droite $d_3$ avec le plan (OAC). On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droite $d_1$.
Une équation cartésienne du plan $(OAC)$ est $y=0$.
Une représentation paramétrique de la droite $d_3$ est $\begin{cases} x=2t\\y=2-t \quad t \in \mathbb R \\z=1+t \end{cases}$
Le point d’intersection de ce plan et de cette droite est $I_3$.
Ses coordonnées vérifient à la fois les équations de la droite et celle du plan.
Donc $2-t=0$ soit $t=2$.
Par conséquent $\begin{cases} x=4\\y=0\\z=3 \end{cases}$
Finalement $I_3(4;0;3)$.
$\quad$
4. Etude du trajet de la lumière
   On donne le vecteur $\vec{u}\,(1~;~-2~;~0)$, et on note $\mathcal P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
   1. Démontrer que le vecteur $\vec u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$.
   $\vec{u}.\vec{v_1}=1\times (-2)+(-1)\times (-2)+0=0$
   $\vec{u}.\vec{v_2}=1\times (-2)+(-2)\times (-1)+0=0$
   Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
   C’est par conséquent un vecteur normal à ce plan.
   $\quad$
   
   2. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan?
   Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $x-2y+d=0$.
   Le point $I_1(2;3,0)$ appartient à $\mathscr{P}$ car il appartient à $d_1$.
   Donc $2-6+d=0$ soit $d=4$.
   Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est par conséquent $x-2y+4=0$.
   $\quad$
   Le point $I_3(4;0;3)$ appartient à $d_3$
   Mais $4-2\times 0+4\neq 0$. Le point $I_3$ n’appartient pas à $\mathscr{P}$.
   Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ne sont pas situées dans un même plan.
   $\quad$
   
   3. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan?
   Le vecteur $\vec{v_1}$ est un vecteur directeur de la droite $d_4$. Le point $I_3$ appartient à cette droite.
   Le point $I_3$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$ défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
   Par conséquent les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ ne sont pas situées dans un même plan.

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : quelques résultats

1. On considère l'équation $(E) : \: 9d - 26m = 1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.
   1. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$.
   2. Démontrer que le couple $(d,\: m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si : $$9 (d - 3) = 26 ( m - 1).$$
   3. En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : $$\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \mathbb Z.$$
2. 1. Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26 k - 1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux.
   2. En déduire que les nombres $9d - 28$, avec $d = 26k + 3$ et $k \in \mathbb Z$, sont premiers avec $26$.

Partie B : cryptage et décryptage

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$. On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P& Q& R& S& T& U& V& W& X&Y& Z\\ \hline 13&14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24 & 25\\ \hline \end{array}$$

1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».

2. Méthode de décryptage

   
   

   Notation :

   lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation » $\equiv$ « pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : $$\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } 26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.$$ Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x’$ et $y’$ des nombres entiers relatifs. On sait que si $x \equiv x’$ modulo $26$ et $y \equiv y’$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax' + by’$ modulo $26$. Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: $$B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26.$$
   1. Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse.
   2. Décrypter le mot : XQGY.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : quelques résultats

1. On considère l'équation $(E) : \: 9d - 26m = 1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.
   1. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$.
   $9\times 3-26\times 1 = 27-26=1$.
   Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que le couple $(d,\: m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si : $$9 (d - 3) = 26 ( m - 1).$$
   Soit $(d;m)$ un couple solution de $(E)$.
   On a donc :
   $9d-26m=1$ et $9\times 3-26\times 1=1$
   Par différence on obtient :
   $9(d-3)-26(m-1)=0$ soit $9(d-3)=26(m-1)$.
   $\quad$
   
   3. En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : $$\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \mathbb Z.$$
   $26$ et $9$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
   $d-3=26k$ et $m-1=9k$
   Soit $d=3+26k$ et $m=1+9k$
   $\quad$
   Réciproquement, soit $k$ un entier relatif.
   $9(3+26k)-26(1+9k)=27-9\times 26k-26+26\times 9k = 1$.
   $\quad$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme :
   $\begin{cases} d=26k+3\\m=9k+1\end{cases}$, avec $k\in \mathbb Z$.
   $\quad$
2. 1. Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26 k - 1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux.
   Soit $n$ un nombre entier. Si $n=26k-1$ alors $26k-n\times 1 = 1$.
   D’après le théorème de Bezout, $n$ et $26$ sont donc premiers entre eux.
   $\quad$
   
   2. En déduire que les nombres $9d - 28$, avec $d = 26k + 3$ et $k \in \mathbb Z$, sont premiers avec $26$.
   Soit $k$ un entier relatif.
   $\begin{align*}9d-28&= 9(26k+3)-28 \\ &=26 \times 9k + 27-28 \\ &=26 \times 9k-1 \\ &=26k’-1 \end{align*}$
   Avec $k’=9k$.
   D’après la question précédente, $9d-28$ et $26$ sont premiers entre eux.
   $\quad$

Partie B : cryptage et décryptage

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$. On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P& Q& R& S& T& U& V& W& X&Y& Z\\ \hline 13&14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24 & 25\\ \hline \end{array}$$

1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».
ES est associé à la matrice colonne $C=\begin{pmatrix}4\\18\end{pmatrix}$.
$AC=\begin{pmatrix}108\\82\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$.
Donc ESPION est codé par EELZWH.
$\quad$

2. Méthode de décryptage

   
   

   Notation :

   lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation » $\equiv$ « pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : $$\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } 26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.$$ Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x’$ et $y’$ des nombres entiers relatifs. On sait que si $x \equiv x’$ modulo $26$ et $y \equiv y’$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax' + by’$ modulo $26$. Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: $$B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26.$$
   1. Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse.
   Le déterminant de $A$ est $d=9\times 3-4\times 7 = -1\neq 0$. Donc $A$ est inversible.
   On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$
   Alors $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
   Ainsi l’inverse de $A$ est la matrice $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Décrypter le mot : XQGY.
   On considère deux matrices colonnes $X$ et $Y$.
   Si $AX=Y$ alors $X=A^{-1}Y$.
   XQ est associé à la matrice $C_1=\begin{pmatrix} 23\\16\end{pmatrix}$
   Donc $A^{1}C_1=\begin{pmatrix}-5\\17\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 21\\17\end{pmatrix}$ qui est associée à VR.
   GY est associé à la matrice $C_2=\begin{pmatrix} 6\\24\end{pmatrix}$
   Donc $A^{1}C_2=\begin{pmatrix}78\\-174\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\8\end{pmatrix}$ qui est associée à AI.
   $\quad$
   Le mot XQGY se décrypte en VRAI.
   $\quad$