Baccalauréat S Liban 31 mai 2019 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ d’unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M’$ d'affixe $z’$ tel que \[z’ = - \dfrac{1}{z}.\]

1. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$ image du point A par la fonction $f$.
   On a :
   $\begin{align*} z_{A’}&=-\dfrac{1}{-1+\text{i}}\\
   &=-\dfrac{-1-\text{i}}{(-1)^2+1^2}\\
   &=\dfrac{1+\text{i}}{2}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction $f$.
   On a :
   $\begin{align*} z_{B’}&=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i} \pi/3}} \\
   &=-2\text{e}^{-\text{i} \pi/3}\\
   &=2\text{e}^{\text{i} \pi} \text{e}^{-\text{i} \pi/3} \\
   &=2\text{e}^{2\text{i} \pi/3}\end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents.
   
2. Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$.
   1. Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$.
   On a :
   $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{r\text{e}^{\text{i} \theta}} \\
   &=-\dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i} \theta}\\
   &=\text{e}^{\text{i} \pi}\times \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i} \theta}\\
   &=\dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi-\theta)}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Est-il vrai que si un point $M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.
   Si un point $M$ appartient au disque de centre $O$ et de rayon $1$ sans appartenir au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ alors $r<1$.
   Donc $\left|z’\right|=\dfrac{1}{r}>1$
   Ainsi le point $M’$ est à l’extérieur de ce disque.
   L’affirmation est donc vraie.
3. Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
   1. Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$.
   Une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est :
   $\begin{align*} &\left(x-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+y^2=\dfrac{1}{2^2}\\
   \iff & x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2=\dfrac{1}{4} \\
   \iff &x^2+x+y^2=0\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$.
   Si $z=x+\text{i} y$ alors :
   $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{x+\text{i} y} \\
   &=-\dfrac{x-\text{i} y}{x^2+y^2} \\
   &=\dfrac{-x+\text{i} y}{x^2+y^2}
   \end{align*}$
   
   3. Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.
   Soit $M$ un point du cercle $\Gamma$ distinct du point $O$ on a donc $x^2+x+y^2=0$ et $(x;y)\neq (0,0)$.
   Ainsi $x=-\left(x^2+y^2\right)$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} z’&=\dfrac{x^2+y^2+\text{i} y}{x^2+y^2} \\
   &=1+\dfrac{y}{x^2+y^2}\text{i}\end{align*}$
   Le point $M’$ appartient donc bien à la droite d’équation $x=1$.
   Remarque : Une bonne question serait de se demander si tous les points de la droite sont atteints.
   $\quad$