Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019 - Exercice 3

Page 5 sur 10: Exercice 3

Exercice 3 4 points

Un Vrai- Faux

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

 

1. Dans l’ensemble $\mathbb C $des nombres complexes, on considère l’équation $(E) : z^2 — 2\sqrt 3 z + 4 = 0$.
   On note $A$ et $B $les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.
   Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.
2. On note $u$ le nombre complexe : $u = \sqrt 3 + i$ et on note $\overline{u}$ son conjugué.
   Affirmation 2 : $u^{2019}+ \overline{u}^{\;2019}=2^{2019}$.
3. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$ f_n(x)=x\text{e}^{-nx+1}.$$ Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n >1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
4. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f(x) = \cos (x) \text{e}^{-x}$.
   Affirmation 4 : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
5. Soit $A$ un nombre réel strictement positif. On considère l’algorithme ci-dessous. $$\begin{array}{|l|} \hline I\leftarrow 0\\ \text{Tant que } 2 ^I \leq A \\ \hspace{1cm} I\leftarrow I+1 \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$ On suppose que la variable $I$ contient la valeur 15 en fin d’exécution de cet algorithme.
   Affirmation5 : $15 \ln (2) < \ln (A) < 16 \ln (2)$