Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb Z$ l’ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l’ensemble $S$ des matrices $A$ qui s’écrivent sous la forme $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $ , où $a, b, c$ et $d$ appartiennent à l’ensemble $\mathbb Z$ et vérifient : $ad -bc = 1$.
On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

1. Vérifier que la matrice $A= \begin{pmatrix} 6& 5\\ -5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ appartient à l'ensemble $S$.
On a $6\times (-4)-5\times (-5)=-24+25=1$. Donc $A\in S$.

 

$\quad$
1. Montrer qu'i existe exactement quatre matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& 2\\ 3 & d \\ \end{pmatrix}$ appartenant à $S$ ; les expliciter.
On veut que $ad-6=1\iff ad=7$ avec $a$ et $d$ entiers relatifs.

 

$7$ est un nombre premier.

 

Par conséquent $a=1$ et $d=7$

 

ou $a=7$ et $d=1$

 

ou $a=-1$ et $d=-7$

 

ou $a=-7$ et $d=-1$.

 

Il existe donc exactement quatre matrices de la forme souhaitée qui sont $\begin{pmatrix} 1&2\\3&7\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 7&2\\3&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1&2\\3&-7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -7&2\\3&-1\end{pmatrix}$.

 

$\quad$
1. 1. Résoudre dans $\mathbb Z$ l'équation $(E): 5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(2;1)$ est une solution particulière de cette équation.
   On a $5\times 1-2\times 2=5-4=1$. Le couple $(1;2)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   
   
   On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$
   
   
   Ainsi : $5\times 1-2\times 2=1$ et $5x-2y=1$.
   
   
   Par différence on a $5(1-x)-2(2-y)=0$ soit $5(1-x)=2(2-y)$.
   
   
   $5$ et $2$ sont premiers entre eux.
   
   
   D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1-x=2k$ et $2-y=5k$ soit $x=1-2k$ et $y=2-5k$.
   
   
   $\quad$
   
   
   Réciproquement : soit $k$ un entier relatif.
   
   
   $5(1-2k)-2(2-5k)=5-10k-4+10k=1$.
   
   
   Les solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\mathbb Z$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& b\\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}$ qui appartiennent à l'ensemble $S$. Décrire ces matrices.
   $A\in S\iff 5a-2b=1$
   
   
   D’après la question précédente $(a,b)=(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\mathbb Z$ sont solutions de cette équation.
   
   
   Il existe ainsi une infinité de matrices solutions qui s’écrivent alors :
   
   
   $$\begin{pmatrix}1-2k&2-5k\\2&5\end{pmatrix} \quad k\in\mathbb Z$$
   
   
   $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

 

Dans cette partie, on note $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $une matrice appartenant à l'ensemble $S$. On rappelle que $a, b, c$ et $d$ sont des entiers relatifs tels que $ad -bc = 1$.

1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
On a $ad-bc=1\iff a\times d+b\times (-x)=1$. D’après le théorème de Bezout les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

 

$\quad$
1. Soit $B$ la matrice $B = \begin{pmatrix} d&- b\\- c &a \\ \end{pmatrix} $
   1. Calculer le produit $AB$. On admet que l'on a $AB=BA$.
   On a $AB=\begin{pmatrix} ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=I$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
   Ainsi $A$ est inversible et $A^{-1}=B= \begin{pmatrix} d&- b\\- c &a \\ \end{pmatrix}$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la matrice $A^{-1}$ appartient à l’ensemble $S$.
   On a $da-(-b)\times (-c)=ad-bc=1$.
   
   
   Donc $A^{-1}\in S$.
   
   
   $\quad$
2. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x'$ et $y'$ les entiers relatifs tels que $ \begin{pmatrix} x'\\y' \\ \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\y \\ \end{pmatrix}$
   1. Montrer que $x = dx' - by'$. On admet de même que $y = ay'- ex'$.
   On a :
   
   
   $\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &\iff
   
   
   \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix} \\
   
   
   &\iff \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}dx’-by’\\-cx’+ay’\end{pmatrix}\end{align*}$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. On note $D$ le $PGCD$ de $x$ et $y$ et on note $D'$ le $PGCD$ de $x'$ et $y'$. Montrer que $D = D'$.
   $D’$ divise à la fois $x’$ et $y’$ il divise donc également $x=dx’-by’$ et $y=ay’-cx’$.
   
   
   Par conséquent $D$ divise $D’$.
   
   
   On a également $x’=ax+by$ et $y’=cx+dy$
   
   
   Donc, pour la même raison $D$ divise également $x’$ et $y’$.
   
   
   Ainsi $D’$ divise $D$.
   
   
   Par conséquent $D=D’$.
   
   
   $\quad$
3. On considère les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par : $x_0 = 2019, y_0 = 673$ et pour tout entier naturel $n$ : $\begin{cases} x_{n+1}=2x_n+3y_n\\ y_{n+1}= x_n+2y_n \end{cases} $
   En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le $PGCD$ des entiers $x_n$ et $y_n$.
On a: $2019=3\times 673$.

 

Le PGCD de $x_0$ et $y_0$ est donc $673$.

 

D’après la question précédente $673$ est également le $PGCD$ des entiers $x_n$ et $y_n$.

 

$\quad$

 

Remarque : Si on a le temps, on peut démontrer par récurrence $PGCD(x_n;y_n)=PGCD(x_0;y_0)$.