Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLMétropole -- 7 septembre 2017 - Exercice 2

Page 3 sur 8: Exercice 2

Exercice 2 6 points

Equations différentielles et exponentielles

Le stimulateur cardiaque est un appareil destiné à certaines personnes dont le rythme du coeur est devenu trop lent. Implanté sous la peau, l'appareil envoie des impulsions électriques régulières au coeur lorsque le rythme cardiaque est insuffisant.

Un stimulateur cardiaque est constitué de deux composants:
• un condensateur de capacité $C$ égale à $4\times 10^{-7}$ farad;
• un conducteur ohmique de résistance $R$ égale à $2\times 10^{6}$ ohms.

Une fois le condensateur chargé, la tension à ses bornes est égale à 5,6 volts. Il se décharge ensuite dans le conducteur ohmique.

Partie A

La tension $u$, en volts, aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$, en secondes. On admet que $u(0)=5,6$ et que cette fonction $u$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, vérifie pour tout nombre $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ la relation: $$u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0$$ où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.

1. 1. Vérifier que la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   2. Résoudre l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   3. Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a: $u(t)=5,6\text{e}^{-1,25t}$.
2. 1. Etudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. Ce résultat était-il prévisible. Justifier la réponse.

Partie B

En réalité, lorsque la tension $u$ aux bornes du condensateur a perdu 63 % de sa valeur initiale $u(0)$, le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au coeur, ce qui provoque un battement. On considère que le condensateur se recharge instantanément et que la tension mesurée à ses bornes est à nouveau égale à 5,6 volts.

 

1. 1. Vérifier que la tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au coeur est de 2,072 volts.
   2. Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation: $$5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072.$$
   3. Interpréter le résultat trouvé.
2. Chez l'adulte en bonne santé, le pouls au repos se situe entre 50 et 80 pulsations par minute.
   On admet que le stimulateur cardiaque d'un patient souffrant d'insuffisance envoie une impulsion électrique au coeur toutes les 0,8 secondes.
   Ce rythme correspond-il à celui d'un adulte au repos et en bonne santé? Justifier la réponse.