Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie 21 juin 2018

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Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.

Partie A

Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

1. On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $]-\infty~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$.
   1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
   2. $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
   3. $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
   4. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
   
2. Une solution $g$ de l'équation différentielle $y''+9y=0$ vérifiant $g(0)=1$ est définie sur $\mathbb R$ par:
   1. $g(t)= \cos\left (9t\right ) + \sin \left (9t\right )$
   2. $g(t)= 4\,\cos \left (3t\right ) - 3$
   3. $g(t)= \cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$
   4. $g(t)= 2\, \cos\left (3t\right ) - \sin \left (3t\right )$
3. L'équation $\ln\left (x-2\right ) = -2$ admet pour solution dans $\mathbb R$:
   1. $0$
   2. $2+\text{e}^{-2}$
   3. $2,14$
   4. $2-\text{e}^{2}$
4. La dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $h(x)=x\text{e}^{-2x}$ est la fonction $h'$ définie sur $\mathbb R$ par:
   1. $h'(x)=\text{e}^{-2x}$
   2. $h'(x)=-2\text{e}^{-2x}$
   3. $h'(x)=-2x\text{e}^{-2x}$
   4. $h'(x)=\left (1-2x\right )\text{e}^{-2x}$

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On note $ \text{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives $z_{\mathrm A}$, $z_{\mathrm B}$ et $z_{\mathrm C}$: \[z_{\mathrm A} = \dfrac{\sqrt{2} + \text{i} \sqrt{2}}{ \text{i}} \hspace{2cm} z_{\mathrm B} = 2 \text{e}^{ \text{i} \frac{\pi}{3}} \hspace{2cm} z_{\mathrm C} = -2 \text{i}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\] Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• Affirmation 1: La forme algébrique de $z_{\mathrm{A}}$ est $\sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$.
• Affirmation 2: Un argument de $z_{\mathrm{C}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
• Affirmation 3: Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
• Affirmation 4: O est le milieu du segment [BC].