Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie 21 juin 2018 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Probabilités

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.
Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.

Partie A

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est $0,08$. On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

1. 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   3. Calculer la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   4. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
2. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6$ et d'écart-type $\sigma=2,349$. On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi de $Y$. En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que:
   1. entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   2. plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.

Partie B

Depuis quelques temps, l'entreprise constate de nombreuses pannes parmi les 75 ascenseurs. Ainsi, sur une période de 30 jours, il a été relevé 263 pannes en tout. L'entreprise doit-elle remettre en cause, au seuil de 95%, le modèle selon lequel la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est $0,08$? Justifier la réponse.