Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Suites et calcul intégral

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d }x$ et pour tout entier naturel $n$ non nul \[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d }x.\]

1. Montrer que $I_0 = \ln (2)$.
2. 1. Calculer $I_0 - I_1$.
   2. En déduire $I_1$.
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: I_n - I_{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$.
   2. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$.
4. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet que si $x$ appartient à l'intervalle $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$ alors $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
   2. En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} + \ldots +\dfrac{\left( \frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = 10 - I_n$.
   2. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.