Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Suites et calcul intégral

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d }x$ et pour tout entier naturel $n$ non nul \[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d }x.\]

1. Montrer que $I_0 = \ln (2)$.
On a :
$\begin{align*} I_0&=\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\text{d} x \\
&=\left[-\ln(1-x)\right]_0^{1/2} \\
&=-\ln(0,5)+\ln(1)\\
&=\ln(2)\end{align*}$
$\quad$
2. 1. Calculer $I_0 - I_1$.
   On a :
   $\begin{align*} I_0-I_1&=\displaystyle\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\text{d} x-\int_0^{1/2}\dfrac{x}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}\dfrac{1-x}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}1\text{d} x \\
   &=\big[x\big]_0^{1/2}\\
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire $I_1$.
   Donc $\ln(2)-I_1=\dfrac{1}{2}\iff I_1=\ln(2)-\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: I_n - I_{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} I_n-I_{n+1}&=\displaystyle \int_0^{1/2}\dfrac{x^n}{1-x}\text{d} x-\int_0^{1/2}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}x^n\text{d} x \\
   &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1/2}\\
   &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$.
   On a donc, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} $.
   On peut donc utiliser l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|} \hline I\leftarrow \ln(2)\\ \text{Si }n>0 \\ \hspace{1cm} \text{Pour } k \text{ allant de 0 à } n-1 \text{faire}\\ \hspace{2cm} I\leftarrow I-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}}{k+1} \\ \hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\ \text{Fin Si}\\ \hline \end{array}$$
   $\quad$
4. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet que si $x$ appartient à l'intervalle $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$ alors $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
   On considère un entier naturel $n$ non nul.
   Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $0\leq \dfrac{x^n}{1-x}\leq \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   En intégrant cette inégalité sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on obtient :
   $0\leq \displaystyle \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\text{d} x \\\int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\text{d} x$
   Or $\displaystyle \int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\text{d} x=\dfrac{1}{2^{n-1}}\big[x\big]_0^{1/2}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{n}}$
   Donc $0\leq I_n\leq \dfrac{1}{2^{n}}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
   On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2^n}= \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
   D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   $\quad$
5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} + \ldots +\dfrac{\left( \frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = 10 - I_n$.
   Montrons par récurrence sur $n$, entier naturel non nul, que $S_n=I_0-I_n$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $I_0-I_1=\dfrac{1}{2}=S_1$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n=I_0-I_n$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $S_{n+1}=I_0-I_{n+1}$.
   $\begin{align*} S_{n+1}&=S_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\
   &=I_0-I_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\\
   &=I_0-\left(I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\right) \\
   &=I_0-I_{n+1}\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=I_0-I_n$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
   On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=I_0=\ln(2)$.
   $\quad$