Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par: $u_0 = l,\: v_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On a calculé les premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4&5 &6&7&8&9&10&11&12\\ \hline v_n&0 &1 &4 &15 &56 &209&780& 2911 & 10864 & 40545 & 151316 & 564719 & 2107560 \\ \hline \end{array}$$

1. Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
Il semblerait que les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ soit $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ et $9$.
$\quad$
2. On admet que pour tout entier naturel $n, \:\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que pour tout entier nature $n,\:\left\{\begin{array}{l c l} u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\ v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n \end{array}\right.$.
   D’après la calculatrice on a $M^3=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
   $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$
   Par conséquent $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n :\: v_{n+3} \equiv v_n \:[5]$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc : $v_{n+3}\equiv 26v_n~[5]$ soit $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
   $\quad$
3. Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q,\: v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$.
Soit $r$ un entier naturel fixé.
Montrons par récurrence sur l’entier naturel $q$ que $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
Initialisation : Si $q=0$ alors $v_{3q+r}=v_r\equiv v_r~[5]$.
La propriété est vraie au rang $1$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $q$. Donc $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
Montrons qu’elle encore vraie au rang $q+1$, c’est-à-dire que $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$ soit encore $v_{3q+r+3}\equiv v_r~[5]$.
D’après la question précédente, en prenant $n=3q+r$, on a $v_{3q+r+3}\equiv v_{3q+r}~[5]$.
D’après l’hypothèse de récurrence on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
Par conséquent $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$
La propriété est vraie au rang $q+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $q$ on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
$\quad$
4. En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.
Ainsi, pour tout entier naturel $q$ on a :
– $v_{3q}\equiv v_0~[5]$ soit $v_{3q}\equiv 0~[5]$
– $v_{3q+1}\equiv v_1~[5]$ soit $v_{3q+1}\equiv 1~[5]$
– $v_{3q+2}\equiv v_2~[5]$ soit $v_{3q+2}\equiv 4~[5]$
On a ainsi parcouru tous les termes de la suite $\left(v_n\right)$.
Pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ est donc congru à $0$, $1$ ou $4$ modulo $5$.
$\quad$
5. Conclure quant à l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$·
Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel $k$ tel que $v_n=0+5k$, $v_n=1+5k$ ou $v_n=4+5k$.
– Si $k$ est pair il s’écrit alors sous la forme $k=2p$ et on a donc :
$v_n=0+10p$, $v_n=1+10p$ ou $v_n=4+10p$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $0$, $1$ ou $4$.
– Si $k$ est impair il s’écrit alors sous la forme $k=2p+1$ et on a donc :
$v_n=0+10p+5$, $v_n=1+10p+5$ ou $v_n=4+10p+5$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $5$, $6$ ou $9$.
L’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ est donc $\left\{0;1;4;5;6;9\right\}$.
$\quad$

 

Partie B

L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$.
Pour cela, on effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible.

1. Montrer que $q < p < 2q$.
On a donc $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$.
Puisque $\sqrt{3}>1$, cela signifie que $p>q$.
$\sqrt{3}=\dfrac{p}{q} \ssi p=q\sqrt{3}$ et donc $p^2=3q^2<4q^2$.
Comme $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls on a donc $p<2q$.
Ainsi $q<p<2q$.
$\quad$
2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$ (aucune justification n'est attendue). Soit le couple $(p' ; q')$ défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.
On a $M^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\quad$
3. 1. Vérifier que $p' = 2p - 3q$ et que $q' = -p + 2q.$
   On a :
   $\begin{align*} \begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p-3q\\-p+2q\end{pmatrix} \\ &\ssi \begin{cases} p’=2p-3q\\q’=-p+2q\end{cases}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Justifier que $(p' ; q')$ est un couple d'entiers relatifs.
   $p$ et $q$ sont des entiers naturels donc $2p-3q$ et $-p+2q$ sont des entiers.
   On sait que $q<p<2q$
   Donc $2q-3q<2p-3q<4q-3q \ssi -q<p'<q$ : ce qui signifie que $p’\in \Z$.
   De même $-2q<-p<-q \ssi 0<-p+2q<q$ : ce qui signifie que $q’\in \N$ et donc $q’\in \Z$.
   $(p’,q’)$ est par conséquent un couple d’entier relatifs.
   $\quad$
   
   3. On rappelle que $p = q\sqrt{3}$. Montrer que $p' = q'\sqrt{3}$.
   On a $q’=-p+2q=-q\sqrt{3}+2q=\left(2-\sqrt{3}\right)q$.
   Donc
   $\begin{align*}q&=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\\ &=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\ &=\left(2+\sqrt{3}\right)q’\end{align*}$.
   De plus :
   $\begin{align*} p’&=2p-3q\\ &=2q\sqrt{3}-3q\\ &=\left(2\sqrt{3}-3\right)q\\ &=\left(2\sqrt{3}-3\right)\times \left(2+\sqrt{3}\right)q’\\ &=q’\sqrt{3}\end{align*}$
   $\quad$
   
   4. Montrer que $0 < q' < q$.
   On a montré à la question 3.b. que $q’>0$.
   D’après la question précédente on a $q=\left(2+\sqrt{3}\right)q’$.
   Or $2+\sqrt{3}>2>1$ donc $q>q’$.
   Par conséquent $0<q'<q$.
   $\quad$
   
   5. En déduire que $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel.
   On a donc montrer qu’on pouvait écrire $\sqrt{3}=\dfrac{p’}{q’}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
   De plus $0<q'<q$. Cela signifie donc, puisque $q’$ et $\sqrt{3}$ sont positifs que $p’$ l’est aussi.
   Or $q$ le plus petit entier naturel tel que $\sqrt{3}$ s’écrive sous la forme $\dfrac{p}{q}$.
   Il y a donc une absurdité et $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
   $\quad$