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Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019 - Correction Exercice 4

Page 8 sur 10: Correction Exercice 4

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie :

  • ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB =12, AD =18 et AE =6
  • EBDG est un tétraèdre.


 L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées respectives B(12 ; 0 ; 0), D(0 ; 18 ; 0) et E(0 ; 0 ; 6).

  1. Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne 3x+2y+6z36=0.
  2. Montrons que les coordonnées des points E,B et D sont solutions de l’équation fournie.
    Pour le point E : 3×0+2×0+6×636=3636=0.
    Pour le point B : 3×12+2×0+6×036=3636=0.
    Pour le point D : 3×0+2×18+6×036=3636=0.
    Une équation cartésienne du plan (EBD) est donc 3x+2y+6z36=0.
    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
    2. On a AG(12;18;6).
      Ainsi une représentation paramétrique de la droite (AG) est : {x=12ty=18tz=6t,t\matbbR

    3. En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4 ; 6 ; 2) .
    4. Prenons t=13. On a alors {12t=418t=66t=3. Le point K(4;6;3) appartient donc à la droite (AG).
      De plus 3×4+2×6+6×236=12+12+1236=0.
      Le point K appartient également au plan (EBD).
      Un vecteur normal au plan (EBD) est n(3;2;6)
      n.AG=3×12+2×18+6×6=1080. La droite (AG) n’est donc pas incluse dans le plan (EBD).
      Ainsi la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4;6;2).
  3. La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier.
  4. On a AG(12;18;6) et n(3;2;6).
    Ils ont la même troisième coordonnée mais les deux autres sont différentes. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et la droite (AG) n’est pas orthogonale au plan (EBD).
    1. Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés.
    2. Le point M est le milieu du segment [ED].
      Ainsi xM=0+02, yM=18+02=9 et zM=0+62=3.
      Les coordonnées du points M sont donc (0;9;3).
      Par conséquent :
      – les coordonnées du vecteur sont BM(12;9;3);
      – les coordonnées du vecteur sont BK(8;6;2).
      128=1,5, 96=1,5 et 32=1,5.
      Cela signifie donc que BM=1,5BK.
      Les deux vecteurs sont colinéaires et les points B, M et K sont alignés.

    3. Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie.
    4. Le point K est donc le point d’intersection des droites (AG) et (BM).
  5. On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.
    1. Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).
    2. Les plans (AED) et (EBD) se coupent selon la droite (ED).
      Le plan P est parallèle au plan (AED) et passe par le point K.
      Le point K appartient donc aux plans (EBD) et P.
      Par conséquent l’intersection du plan P et du plan (EBD) est une droite parallèle à la droite (ED) passant par le point K.

    3. Construire alors sur l'annexe 2 à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG.

    4.  ANNEXE 2
      pavesol
      L’intersection du plan P et de la face EBD est représentée en bleue.
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