Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019 - Correction Exercice 4
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Correction de l'exercice 4 5 points
Sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie :
- ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB =12, AD =18 et AE =6
- EBDG est un tétraèdre.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées respectives B(12 ; 0 ; 0), D(0 ; 18 ; 0) et E(0 ; 0 ; 6).
- Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne 3x+2y+6z−36=0. Montrons que les coordonnées des points E,B et D sont solutions de l’équation fournie.
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- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG). On a →AG(12;18;6).
- En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4 ; 6 ; 2) . Prenons t=13. On a alors {12t=418t=66t=3. Le point K(4;6;3) appartient donc à la droite (AG).
Ainsi une représentation paramétrique de la droite (AG) est : {x=12ty=18tz=6t,t∈\matbbR
De plus 3×4+2×6+6×2−36=12+12+12−36=0.
Le point K appartient également au plan (EBD).
Un vecteur normal au plan (EBD) est →n(3;2;6)
→n.→AG=3×12+2×18+6×6=108≠0. La droite (AG) n’est donc pas incluse dans le plan (EBD).
Ainsi la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4;6;2).
- La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier. On a →AG(12;18;6) et →n(3;2;6).
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- Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés. Le point M est le milieu du segment [ED].
- Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie. Le point K est donc le point d’intersection des droites (AG) et (BM).
Ainsi xM=0+02, yM=18+02=9 et zM=0+62=3.
Les coordonnées du points M sont donc (0;9;3).
Par conséquent :
– les coordonnées du vecteur sont →BM(−12;9;3);
– les coordonnées du vecteur sont →BK(−8;6;2).
−12−8=1,5, 96=1,5 et 32=1,5.
Cela signifie donc que →BM=1,5→BK.
Les deux vecteurs sont colinéaires et les points B, M et K sont alignés.
- On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.
- Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED). Les plans (AED) et (EBD) se coupent selon la droite (ED).
- Construire alors sur l'annexe 2 à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG.
Le plan P est parallèle au plan (AED) et passe par le point K.
Le point K appartient donc aux plans (EBD) et P.
Par conséquent l’intersection du plan P et du plan (EBD) est une droite parallèle à la droite (ED) passant par le point K.
ANNEXE 2
L’intersection du plan P et de la face EBD est représentée en bleue.
Pour le point E : 3×0+2×0+6×6−36=36−36=0.
Pour le point B : 3×12+2×0+6×0−36=36−36=0.
Pour le point D : 3×0+2×18+6×0−36=36−36=0.
Une équation cartésienne du plan (EBD) est donc 3x+2y+6z−36=0.
Ils ont la même troisième coordonnée mais les deux autres sont différentes. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et la droite (AG) n’est pas orthogonale au plan (EBD).
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