Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013 - Correction de l'Exercice 1

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Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution.
La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
\[h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu' initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$ m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$ m. Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

• $h(0) =0,1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{0}}=0,1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{1+b}=0,1 \Leftrightarrow 10 a =1+b \Leftrightarrow b=10a -1$
• Comme $\lim\limits_{t\to +\infty}- 0,04t =-\infty $ et $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$ $\lim\limits_{t\to +\infty} h(t)=2 \Leftrightarrow \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}=2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{1+b\times 0}=2 \Leftrightarrow a=2$

$a=2$ donne donc $b=10a -1 \Leftrightarrow b=19$ 

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 250] par
\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\]

1. Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$  ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 250].
$f=\dfrac{2}{u}$ avec $u(t)=1 + 19\text{e}^{- 0,04t}$, ainsi $f'(t)=-2\times \dfrac{19\times (-0,04)\text{e}^{- 0,04t}}{\left(1 + 19\text{e}^{- 0,04t}\right )^2 }$
$f'(t)=\dfrac{1,52\text{e}^{- 0,04t}}{\left(1 + 19\text{e}^{- 0,04t}\right )^2 }$
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$ et le dénominateur étant le carré d'un réel non nul, on a sans peine $\forall t \in [0~;~250]; f'(t)>0$.
$f$ est strictement croissante sur [0;250].
2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$m.
   Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$.
On résout $f(t)>1,5 $
$$\begin{array}{ll} f(t)>1,5& \Leftrightarrow \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}} >1,5 \\ & \Leftrightarrow 2 >1,5 \left (1 + 19\text{e}^{- 0,04t}\right ) \\ & \Leftrightarrow 0,5 > 3\times 19\text{e}^{- 0,04t} \\ & \Leftrightarrow \text{e}^{- 0,04t} < \dfrac{1}{57}\\ & \Leftrightarrow - 0,04 t < \ln \left (\dfrac{1}{57} \right ) \\ & \Leftrightarrow t>\dfrac{ \ln 57}{0,04} \\ & \Leftrightarrow t >25\ln(57) \\ \end{array}$$
Le plant atteint une hauteur supérieure à $1,5$ m pour $t>25\ln(57)$,soit pour un temps qui dépasse 102 jours .
On a $\dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}=\dfrac{\text{e}^{0,04t}\times 2}{\text{e}^{0,04t}\left (1 + 19\text{e}^{-0,04t}\right )}=\dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}=f(t)$.
On a donc bien $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$.
Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
• Première méthode : On dérive $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$, comme $F=50\ln u$, on a $F'=\dfrac{50u'}{u}$, ainsi $F'(t) = 50\dfrac{0,04\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}=\dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}=f(t)$
  Ayant $F'(t)=f(t)$, on a montré que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
• Deuxième méthode : $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$,
  on pose $u(t)=\text{e}^{0,04t} + 19$, alors $u'(t)= 0,04\text{e}^{0,04t}$ donc $\text{e}^{0,04t}=\dfrac{1}{0,04}u'(t)=25u'(t)$
  Ainsi $f =2\times \dfrac{25 u'}{u}=\dfrac{50 u'}{u}$ et donc $F=50 \ln |u|$
  Comme pour tout $t \in [0;250]$ on a $\text{e}^{0,04t} + 19>0$, on déduit que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
3. Déterminer la valeur moyenne valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50  ; 100] est $\mu= \dfrac{1}{100-50}\displaystyle \int_{50}^{100} f(t)\; dt=\dfrac{1}{ 50}\left [ F(t)\right ]_{50}^{100}$
$F(100)=50 \ln\left( \text{e}^{0,04 \times 100} + 19\right)=50\ln \left ( e^{4}+19\right )$
$F(50)=50 \ln\left(\text{e}^{0,04 \times 50} + 19\right)=50\ln \left (e^{2}+19\right) $
$\mu= \dfrac{1}{ 50} \left [ F(100)-F(50)\right ]= \ln \left( e^{4}+19\right ) -\ln \left (\text{e}^{2}+19)\right) =\ln \left (\dfrac{ \text{e}^{4}+19 }{ \text{e}^{2}+19}\right )$
$\mu=\ln \left (\dfrac{\text{e}^{4}+19 }{ \text{e}^{2}+19}\right ) \approx 1,03$
4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$.
   En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe de $f$ est maximale, soit pour $t_{Max}\approx 73,5$ et la hauteur du plant est estimée à 1 m.