Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013 - Correction de l'Exercice de spécialité

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Exercice 3 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel $n$, on note $j_{n}$ le nombre d'animaux jeunes après $n$ années d'observation et $a_{n}$ le nombre d'animaux adultes après $n$ années d'observation.
Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.
Ainsi $j_{0} = 200$ et $a_{0} = 500$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[\left\{\begin{array}{l c l} j_{n+ 1}& =&0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\ a_{n+1} &=& 0,625j_{n} + 0,625a_{n} \end{array}\right.\]
On introduit les matrices suivantes :
$A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\ \end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}$.

1. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}$.
   $$A \times U_n = \begin{pmatrix} 0,125j_n+0,525a_n\\\\0,625j_n+0,625a_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} j_{n+1} \\\\a_{n+1} \end{pmatrix}=U_{n+1}$$
   2. Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
   On cherche donc $U_1$ et $U_2$ $$U_1 = A\times U_0 = \begin{pmatrix} 287,5 \\\\437,5 \end{pmatrix}$$
   Il y a donc 287 animaux jeunes et 437 animaux adultes (arrondis par défaut) la première année.
   $$U_2 = A \times U_1 = \begin{pmatrix} 265,62 \\\\453,12 \end{pmatrix}$$
   Il y a donc 265 animaux jeunes et 453 animaux adultes (arrondis par défaut) la deuxième année.
   3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_{n}$ en fonction de $A^n$ et de $U_{0}$.
   Puisque, pour tout $n, U_{n+1} = A \times U_n$, on peut écrire que $Un_=A^n×U_0$.
   On introduit les matrices suivantes $Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5& 5\\ \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}$.
2. 1. On admet que la matrice $Q$ est inversible et que $Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}$. Montrer que $Q \times D \times Q^{- 1} = A$.
      • Initialisation :$Q \times D \times Q^{-1} = A$ donc la la propriété est vraie au rang 1.
      • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n : A^n = Q\times D^n \times Q^{-1}$.
        Alors $A^{n+1} = A^n \times A = Q \times D^n \times Q^{-1} \times Q \times A \times Q^{-1}$ $= Q \times D^{n+1} \times Q^{-1}$.
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
        La propriété est donc vraie au rang n+1.
      • Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
        Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = Q \times D^n \times Q{-1}$.
      • Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}$.
      • Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en fonction de $n$.
      Pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n = \begin{pmatrix} (-0,25)^n&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
   On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul,\[A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\ 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n\\ \end{pmatrix}\]
3. 1. En déduire les expressions de $j_{n}$ et $a_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.
   On a donc :
   $U_n = \begin{pmatrix} 60 +140\times (-0,25)^n+210-210 \times (-0,25)^n \\\\100-100\times (-0,25)^n+350+150\times(-0,25)^n \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 270-70\times (-025)^n \\\\450+50\times(-0,25)^n \end{pmatrix}$
   $~$
   
   Par conséquent $j_n = 270 – 70 \times (-0,25)^n$ et $a_n=450 + 50\times (-0,25)^n$
   
   $~$
   
   2. Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
   Ayant $-1< 0,25 <1 $ on  déduit $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}(-0,25)^n = 0$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} j_n = 270$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 450$.
   
   Au bout d’un grand nombre d’années, la population des jeunes animaux sera de $270$ et celle des adultes de $450$.