Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$. On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.

On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.

À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.

On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].

Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1)

et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
   $z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$.
   2. Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
   3. Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$.
   4. Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$ en prenant 2~cm pour unité graphique.
   5. Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$.
   1. Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$.
   2. Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$.
   3. Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$.
   4. Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$.
   5. Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.