Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 - Correction Spécialité

Page 6 sur 10: Correction Spécialité

Exercice 2 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :

$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ & b \text{est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de  }a\\ & \text{Demander la valeur de } b\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > b\\ & \begin{array}{|c|}  \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - b \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } c\\ & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}
$$

1. Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Voici l’état des variables $a$,$b$ (qui ne varie pas !) et $c$.

 

$a$	$13$	$9$	$5$	$1$
$b$	$4$	$4$	$4$	$4$
$c$	$0$	$1$	$2$	$3$

$\quad$

1. Que permet de calculer cet algorithme ?

 

Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array}

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

• Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
• Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.
• Étape 3 : Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

 

1. Coder la lettre U.
La lettre U est associée au nombre $20$. $9 \times 20 + 5 = 185$ et $ 185 \equiv 3 [26]$.

 

Donc la lettre U est codée par D.

 

$\quad$
1. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de }a\\ & \text{Affecter à } a \text{ la valeur } 9\times a +5\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > 26\\ & \begin{array}{|c|} \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - 26 \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}$$

Partie C

1. Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$.
$9 \times 3 = 27 \equiv 1 [26]$.

 

On peut donc prendre $x=3$

 

$\quad$
1. Démontrer alors l'équivalence :
   \[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\]
$9m+5 \equiv p[26]$ $\Leftrightarrow 3 \times (9m + 5) \equiv 3p [26]$ $\Leftrightarrow 3 \times 9 \times m + 15 \equiv 3p [26]$ $\Leftrightarrow m = 3p-15 [26]$ car $3\times 9 \equiv 1[26]$.

 

$\quad$
1. Décoder alors la lettre B.
La lettre B est associée à $1$.

 

Prenons donc $p=1$.

 

D’après la question précédente $m \equiv 3 \times 1 – 15[26]$ soit $m \equiv -12[26]$ et donc $m \equiv 14 [26]$.