Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 - Correction de l' Exercice 3

Page 8 sur 10: Correction de l' Exercice 3

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres .

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes.

Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline P(X \leqslant x) &0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline \end{array}$$

1. Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$.
$P(390 \le X \le 410) = P(X \le 410) – P(X < 390)$ $=0,818 – 0,182 = 0,636$

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Calculer la probabilité $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
   • Première rédaction : On utilise le tableau
     On cherche donc $P(X \ge 385) = 1 – P(X < 385) = 1 – 0,086 = 0,914$.
   • Deuxième rédaction : On utilise la calculatrice
     

     2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
     Avec une calculatrice de type TI

     $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

     $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

      

3. Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de
   production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
   Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit
   commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.
   On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant -1,751) \approx 0,040$.
La variable aléatoire $Z=\dfrac{X -\mu }{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

 

• Première rédaction : On utilise le tableau
  On veut que $P(X \ge 385) = 0,96$ soit $P(X < 385) = 0,04$.
  Par conséquent $P \left( \dfrac{X -\mu }{\sigma} < \dfrac{385 -\mu }{\sigma} \right) = 0,04$.
  On cherche donc $\sigma$ tel que $\dfrac{385 – 400}{\sigma} = -1,751$ soit $\sigma = \dfrac{15}{1,751} \approx 8,6$ au dixième près.
• Deuxième rédaction : On utilise la calculatrice
  On veut que $P(X \ge 385) = 0,96$ soit $P(X < 385) = 0,04$
  $$ \begin{array}{ll} P(X \leq 385) = 0,04& \Longleftrightarrow P\left (\dfrac{X-400}{\sigma}\right ) \leq \dfrac{385-400}{\sigma}) = 0,04 \\ & \Longleftrightarrow P\left (T \leq -\dfrac{15}{\sigma}\right ) = 0,04 \\ & \Longleftrightarrow \Pi\left ( -\dfrac{15}{\sigma}\right ) = 0,04 \\ & \Longleftrightarrow -\dfrac{15}{\sigma} = \Pi^{-1}(0,04) \\ & \Longleftrightarrow -15 = \sigma \times \Pi^{-1}(0,04) \\ & \Longleftrightarrow \sigma = -\dfrac{15}{ \Pi^{-1}(0,04)} \\ & \Longleftrightarrow \sigma\approx 8,6 \\ \end{array} $$
• Remarque :

  2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
  Avec une calculatrice de type TI

  $$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

  $$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$

Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96 % de pains
commercialisables.
Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{300} = [0,938;0,982]$$
2. Parmi les $300$ pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables.
   Au regard de l'intervalle de fluctuationobtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ?
$\dfrac{283}{300} \approx 0,943 \in I_{300}$. L’objectif est donc atteint.

Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.
   Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.
On a donc $P(T \ge 30) = 0,913$ donc $\text{e}^{-30\lambda} = 0,913$ $\Leftrightarrow -30\lambda = \text{ln }0,913$ $\Leftrightarrow \lambda = \dfrac{\text{ln }0,913}{-30}$.

 

Donc $\lambda \approx 0,003$.
1. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
On cherche donc $P_{T \ge 60}(T \ge 90) = P_{T \ge 60}(T \ge 60 + 30) = P(T \ge 30) = 0,913$ (durée de vie sans vieillissement).
2. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
$P(T \ge 365) = \text{e}^{-0,003 \times 365} = 0,335$. Le vendeur a donc tort.

 

On cherche donc $n$ tel que $P(T \ge n) = 0,5$ soit $\text{e}^{-0,003n} = 0,5$ par conséquent $-0,003n = \text{ln } 0,5$ et $n = \dfrac{\text{ln }0,5}{-0,003} \approx 231,05$.

 

Il y a donc une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant $231$ jours.