Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Correction Exercice 1
Correction de l'exercice 1 (5 points)
Les trois parties A, B et C sont indépendantes.
Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.
Partie A :
Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros. On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à $0,003$. On nomme $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.
- Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
- « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
- « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$
- Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de celui-ci. Déterminer la probabilité qu'un lot ne soit pas échangé; le résultat sera arrondi au millième. On cherche donc $P(X \le 11) \approx 0,9801$.
On répète $\1$ fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :
Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$ et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .
Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$
2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$
Partie B :
On a donc :
$$ \begin{array}{ll} P(104 \le Y \le 116) = 0,98 & \Leftrightarrow P(-6 \le Y – 110 \le 6) = 0,98 \\ & \Leftrightarrow P\left(-\dfrac{6}{\sigma} \le \dfrac{Y – 110}{\sigma} \le \dfrac{6}{\sigma} \right) = 0,98 \end{array}$$
La variable aléatoire $ Z =\dfrac{Y – 110}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
On est donc ramené à trouver la valeur de $x$ telle que $P(-x \le Z \le x) = 0,98$
Or $P(-x \le Z \le x) = 2P(Z \le x) – 1$.
Par conséquent $2P(Z \le x) – 1=0,98 \Leftrightarrow P(Z \le x) = \dfrac{1,98}{2} = 0,99$
La calculatrice nous donne $x \approx 2,326$.
2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$
Par conséquent $\dfrac{6}{\sigma} \approx 2,326$ et $\sigma \approx \dfrac{6}{2,326}$
Donc $\sigma \approx 2,6$
Partie C :
On note $n = 900$ et $p=0,84$.
$n = 900 \ge 30$, $np = 756 \ge 5$ et $n(1 – p) = 144 \ge 5$.
Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
$$\begin{array} {ll}I_{900} &= \left[0,84 – 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}};0,84 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}}\right] \\ & \approx [0,816;0,864] \end{array}$$
La fréquence observée est $f = \dfrac{795}{900} \approx 0,883 \notin I_{900}$.
Le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces entre les années 2000 et 2010 n’est donc pas resté stable au risque d’erreur de $5\%$.
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