Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015

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Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$. Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par \[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\] On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels.  

  1. Etude du cas particulier $a = 2$ La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
    1. Etudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variations sur $\mathbb R$ ( on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition .
    2. En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection.
  2. Etude du cas général où $a$ est un réel strictement positif
    1. Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
    2. Etudier les variations de la fonction $f_a$ sur $\mathbb R$. Montrer alors que le minimum sur $\mathbb R$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$.
    3. Etudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
    4. Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.

     

    Correction Exercice 1
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