Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n$, par \[u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\ v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n\end{array}\right..\]

1. Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2$.
2. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier naturel $N$ donné.
   1. On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Entrée : } & N \text{ est un nombre entier} \\ \text{Variables : } &K \text{ est un nombre entier }\\ & S \text{ est un nombre réel }\\ & T \text{ est un nombre réel }\\ \text{Initialisation : }&\text{ Affecter 1 à } S \\ &\text{ Affecter 0 à } T \\ &\text{ Affecter 0 à } K \\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } K < N \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } \sqrt{3}S - T \text{ à } S \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } S + \sqrt{3} T \text{ à } T \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : } &\text{ Afficher } S \\ &\text{ Afficher } T \\ \hline\end{array}$$ Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2$. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous : $$\begin{array}{ |c| c| }\hline S & T & K \\ \hline 1 &0 &0\\ \hline \sqrt{3} & \sqrt{3} &1 \\ \hline & &\\ \hline\end{array} $$
   2. L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$ donné ? Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$.
3. On pose, pour tout entier naturel $n,\: z_n = u_n + \text{i}v_n$. On note $a$ le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$ \[z_{n+1} = az_n.\]
   2. Ecrire $a$ sous forme exponentielle.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\[\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\ v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\end{array}\right.\]