Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Suites

Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs. On admet qu'une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

• $u_0 > 1$,
• pour tout $n \geqslant 0$, $u_n \geqslant 0$,
• pour tout $n > 0$, $u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.

 

1. On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
2. Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$. On a en particulier $s_1 = u_0$·
   1. Vérifier que pour tout entier $n > 0$, $s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
   2. En déduire que pour tout entier $n > 0$, \[u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}.\]
   3. Montrer que pour tout $n \geqslant 0$, $u_n > 1$.
3. À l'aide de l'algorithme ci-contre, on veut calculer le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
   1. Recopier et compléter la partie traitement de l'algorithme ci-dessous.
   2. Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de $u_n $pour différentes valeurs de l'entier $n$ :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0& 5& 10 &20 &30 &40\\ \hline u_n & 3 &1,140 &1,079 &1,043 &1,030 &1,023\\ \hline \end{array} $$ Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? $$\begin{array}{|r X|}\hline \text{Entrée }: &\text{Saisir } n \\ &\text{ Saisir } u \\ \text{Traitement }: & s \text{ prend la valeur } u \\ &\text{ Pour }i \text{ allant de } 1 \text{ à } n :\\ &\begin{array}{ |l} & u \text{ prend la valeur } \ldots\\ & s \text{ prend la valeur } \ldots\\ \end{array}\\ &\text{Fin Pour }\\ \text{Sortie} : &\text{ Afficher} U\\ \hline \end{array} $$
4. 1. Justifier que pour tout entier $n > 0$, $s_n > n$.
   2. En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.