Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2017 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et Bsont indépendantes.

Partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d'activités,
le programme A : cirque - éveil musical,
et le programme B : théâtre - arts plastiques.
À sa création en 2014, l'association compte 150 enfants qui suivent tous le programme A. Pour chacune des années suivantes, le nombre d'enfants inscrits dans l'association reste égal à $150$.
On dispose également des informations suivantes : Chaque enfant ne peut suivre qu'un seul programme: soit le programme A, soit le programme B.
D'une année à l'autre, 20% des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40% choisissent le programme B.
Les autres quittent l'association. D'une année à l'autre, 60% des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l'association.
Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.
On modélise le nombre d'inscrits au programme A et le nombre d'inscrits au programme B durant l'année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. On a donc $U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n + 1} = U_n M$ où $M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
$20\%$ des inscrits au programme $A$ se réinscrivent soit $0,2a_n$.
$40\%$ des inscrits au programme $A$ s’inscrivent au programme $B$ soit $0,4a_n$.
$40\%$ des inscrits au programme $A$ quittent l’association soit $0,4a_n$.
$60\%$ des inscrits au programme $B$ se réinscrivent soit $0,6b_n$.
$40\%$ des inscrits au programme $B$ quittent l’association soit $0,4b_n$.
Les nouveaux inscrits compensent les départs soit $0,4a_n+0,4b_n$.
Ainsi $a_{n+1}=0,2a_n+0,4a_n+0,4b_n=0,6a_n+0,4b_n$
et $b_{n+1}=0,4a_n+0,6b_n$
On obtient ainsi la matrice de transition $M=\begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
Et $U_{n+1}=U_n\times M$.
$\quad$
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times 0,2^n &75 - 75 \times 0,2^n\end{pmatrix}$.
Montrons ce résultat par récurrence.
Initialisation : $U_0=\begin{pmatrix} 150&0\end{pmatrix}$
$75+75\times 0,2^0=150$ et $75-75\times 75^0=75-75=0$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=\begin{pmatrix} 75+75\times 0,2^n&75-75\times 0,2^n \end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,6\left(75+75\times 0,2^n\right)+0,4\left(75-75\times 0,2^n\right) \\
&=45+0,6\times 75\times 0,2^n+30-0,4\times 75\times 0,2^n \\
&=75+(0,6-0,4)\times 75\times 0,2^n\\
&=75+0,2\times 75\times 0,2^n\\
&=75+75\times 0,2^{n+1}
\end{align*}$
$\begin{align*} b_{n+1}&=0,4\left(75+\times 75\times 0,2^n\right)+0,6\left(75-\times 75\times 0,2^n\right) \\
&=30+0,4\times 75\times 0,2^n+45-0,6\times 75\times 0,2^n \\
&=75+(0,4-0,6)\times 75\times 0,2^n \\
&=75-0,2\times 75\times 0,2^n \\
&=75-75\times 0,2^{n+1}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=\begin{pmatrix} 75+\times 75\times 0,2^n&75-\times 75\times 0,2^n\end{pmatrix}$
$\quad$
3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.
$0<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=75$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=75$
Sur le long terme les deux programmes compteront $75$ inscrits.
$\quad$

Partie B

L'association affecte à chaque enfant un numéro à 6 chiffres $c_1c_2c_3c_4c_5k$. Les deux premiers chiffres représentent l'année de naissance de l'enfant les trois suivants sont attribués à l'enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

• on effectue la somme $S = c_1 + c_3 + c_5 + a \times \left(c_2 + c_4\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
• on effectue la division euclidienne de $S$ par 10, le reste obtenu est la clé $k$.

Lorsqu'un employé saisit le numéro à 6 chiffres d'un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n'est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

1. Dans cette question seulement, on choisit a = 3.
   1. Le numéro 111383 peut-il être celui d'un enfant inscrit à l'association ?
   Si le nombre est $111383$ alors $S=1+1+8+3(1+3)=22$
   $22=2\times 10+2$.
   La clé devrait donc être $2$.
   Le nombre $111383$ ne peut donc pas être celui d’un enfant inscrit à l’association.
   $\quad$
   
   2. L'employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro 08$c_3c_4c_5k$ est transformé en $11c_3c_4c_5k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
   On note $S_1=0+c_3+c_5+3(8+c_4)$ et $S_2=1+c_3+c_5+3(1+c_4)$.
   On veut donc savoir si $S_1-S_2$ est un multiple de $10$.
   $\begin{align*} S_1-S_2&=c_3+c_5+24+3c_4-\left(1+c_3-c_5+3+3c_4\right) \\
   &=24-1-3 \\
   &=20
   \end{align*}$
   La différence $S_1-S_2$ étant un multiple de $10$, les nombres $S_1$ et $S_2$ ont le même reste dans la division euclidienne par $10$.
   L’erreur ne sera donc pas détectée grâce à la clé.
   $\quad$
2. On note $c_1c_2c_3c_4c_5k$ le numéro d'un enfant. On cherche les valeurs de l'entier $a$ pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont intervertis. On suppose donc que les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont distincts.
   1. Montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$ si et seulement si $(a -1)\left(c_4 - c_3\right)$ est congru à 0 modulo 10.
   On note $S=c_1+c_3+c_5+a\left(c_2+c_4\right)$ et $S’=c_1+c_4+c_5+a\left(c_2+c_3\right)$
   Si la clé ne détecte pas l’erreur cela signifie donc que :
   $\begin{align*} S\equiv S’ ~~[10] &\iff c_1+c_3+c_5+ac_2+ac_4 \equiv c_1+c_4+c_5+ac_2+ac_3 ~~[10] \\
   &\iff c_3+ac_4 \equiv c_4+ac_3 ~~[10] \\
   &\iff c_3+ac_4-c_4-ac_3 \equiv 0~~[10] \\
   &\iff (a-1)\left(c_4-c_3\right) \equiv 0 ~~ [10]
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Déterminer les entiers $n$ compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre 1 et 9 tel que $np \equiv 0 \quad(10)$.
   Si $n=0$ alors $np\equiv 0~~[10]$ pour tout entier naturel $p$.
   Si $n=1$ alors $np=p \equiv p~~[10]$. Comme $p$ est compris entre $1$ et $9$ on ne peut pas avoir $np\equiv 0~~[10]$.
   Si $n=2$ alors si $p=5$ on a $np=10\equiv 0~~ [10]$.
   Si $n=3$ alors $np \in\left\{3,6,9,12,15,18,21,24,27\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
   Si $n=4$ alors si $p=5$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
   Si $n=5$ alors si $p=4$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
   Si $n=6$ alors si $p=5$ on a $np=30 \equiv 0~~[10]$.
   Si $n=7$ alors $np\in \left\{7,14,21,28,35,42,49,56,63\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
   Si $n=8$ alors si $p=5$ on a $np=40\equiv 0~~[10]$
   Si $n=9$ alors $np\in\left\{9,18,27,36,45,54,63,72,81\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
   Les entiers $n$ cherchés sont donc $0,2,4,5,6$ et $8$.
   $\quad$
   
   3. En déduire les valeurs de l'entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$.
   Pour que l’erreur soit détectée il faut donc $a-1$ appartienne à $\left\{1,3,7,9\right\}$
   Soit $a\in\left\{2,4,8\right\}$