Baccalauréat STI2D - STL Polynésie 16 juin 2014 spécialité SPCL - Correction Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Probabilités

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène.
Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l'aide d'un moule.
Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule.
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité d'une production de boîtes cubiques.

A. Loi normale
Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [16,7;17,3].
La mesure de l'arête d'une boîte est modélisée par une variable aléatoire $C$ qui suit la loi normale d'espérance $17$ et d'écart type $0,14$.

1. Calculer $P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3)$.

2ND   DISTR   2 NORMALCDF( 16.7  , 17.3,17   ,0.14)EXE 

$Normalcdf(16.7,17.3,17,0.14) \approx 0,968$

$P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3) \approx 0,968$.
La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit conforme est égale à 0,968 à $10^{-3}$ près.
2. Déterminer la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme.

$P( C\notin [16, 7 ; 17,3]) =1-P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3)\approx 0,032 $
La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme est égale à 0,032 à $10^{-3}$ près.

B. Loi binomiale
L'entreprise conditionne ces boîtes par lots de $200$. On prélève au hasard une boîte dans la production.
On note $p$ la probabilité de l'évènement : «  la boîte prélevée au hasard dans la production est non conforme » .

On prélève au hasard $200$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $200$ boîtes., associe le nombre de boîtes non conformes qu'il contient.

On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $200$ et $p$, et, qu'en moyenne chaque lot de $200$ boîtes en contient 6 non conformes.

1. Justifier que $p = 0,03$.


En moyenne, chaque lot de 200 boîtes en contient 6 non conformes d'où $p=\dfrac{6}{200}=0,03$.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de $200$ boîtes.

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,03$ $P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)\approx 0,984$
La probabilité qu'il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de 200 boîtes est égale à 0,984 à $10^{-3}$ près.

C. Intervalle de fluctuation
On rappelle que, pour une proportion $p$ connue dans une production, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % d'une fréquence calculée sur un échantillon de taille $n$ est :
$$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}};p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right]$$
Dans le cadre d'un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion $p$ de boîtes non conformes dans la production est 3 %.

1. Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $200$.

Comme $n=200, n \times p=200\times 0,03=6$ et $n \times(1-p)=200\times 0,97=194$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$I = \left[0,03 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,03\times 0,97}{200}}~;~0,03 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,03\times 0,97}{200}} \right]$$
Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de boîtes non conformes dans la production sur un échantillon de taille 200 est $I=[0,006;0,054]$.
2. On contrôle le bon fonctionnement du thermoformage en prélevant au hasard dans la production des échantillons de $200$ boîtes.
   Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a compté $10$ boîtes non conformes.
   Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la thermoformeuse ? Justifier la réponse.

La fréquence observée de boîtes non conformes dans la production est $f=\dfrac{10}{200}=0,05$
La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% le technicien n'effectue pas de réglages sur la thermoformeuse.