Baccalauréat STI2D - STL Polynésie 16 juin 2014 spécialité SPCL - Correction de l'Exercice 4

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Exercice 4 7 points

Fonction logarithme

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : \[f(x) = 6 \ln x + ax + b\] où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)$.

• Le point A(1;1) appartient à $\mathcal{C}_{f}$.


• $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

PARTIE A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}_{f}$ (trait plein) ainsi que les courbes $\Gamma$ et $\Omega$. L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre représente une primitive $F$ de $f$.

1. Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de $F$.

Dire que $F$ est une primitive de la fonction $f$ signifie que pour tout réel $x$ strictement positif, $F′(x)=f(x)$. Par conséquent, les variations de la fonction $F$ se déduisent du signe de de la fonction $f$.

D'après les variations de la fonction $F, \Omega$ est la courbe représentative de la fonction $F$.
2. Par lecture graphique, déterminer $f(1)$ et $f'(2)$.

D'après les données de l'énoncé :
• Le point A$(1;1)$ appartient à $\mathcal{C}_{f}$ donc $f(1)=1$.
• $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2 donc $f′(2)=0$.
3. Donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$.


$f'$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f'(x)=\dfrac{6}{x}+a.$
4. l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0; + \infty[$, \[f(x) = 6\ln x - 3x + 4.\]



• Comme $f'(2)=0$ alors, $\dfrac{6}{2}+a=0$ soit $3+a=0$
• Comme $f(1)=1$ alors, $6 \ln 1 + a \times 1 + b=0$ soit $a+b=1$
Ainsi, $a$ et $b$ sont solutions du système :$$ \left\lbrace\begin{array}{ll} 3+a&=0\\ ~a+b &=1\\ \end{array} \right.\iff \left\lbrace\begin{array}{ll} a&=-3\\ ~ b &=4\\ \end{array} \right.$$
$f$ est la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = 6 \ln x -3x + 4.$

PARTIE B

Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe $\mathcal{C}_{f}$ fournie dans la partie A.

1. Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement cette limite.

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~-3x + 4=4\end{array}\right\}$ par somme on obtient : $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x) = -\infty$
$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ par conséquent, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour asymptote l'axe des ordonnées.
2. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0; + \infty[ , f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).$

Pour tout réel $x $ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ , $f'(x)= \dfrac{6}{x}-3= \dfrac{3}{x} (2-x)$
$f'$ est la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f'(x)= \dfrac{3}{x} (2-x)$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner les variations de la fonction $f$.

Comme $x > 0$ alors, $f'(x)$ est du même signe que $2-x$.
D'où le tableau établissant le signe de $f'(x)$ ainsi que les variations de la fonction $f$ :



4. En déduire que la fonction $f$ admet un extremum dont on calculera la valeur exacte.

D'après les variations de la fonction $f$, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=2$ et $f(2)=6\ln2-2$.
Le maximum de la fonction $f$ est égal à $6\ln2-2$.
 

PARTIE C

Soit $H$ la fonction définie sur $]0; + \infty[$ par: \[H(x) = 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.\]

1. Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0; + \infty[$.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, $$ \begin{array}{ll} H'(x)& =6 \times \ln x +6x\times \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{2} \times 2x -2~\\ & =6 \ln x +6-3x-2\\ & =6 \ln x -3x+4\\ & =f(x) \end{array} $$
Pour tout réel $x$ strictement positif, $H′(x)=f(x)$. Par conséquent, la fonction $H$ définie sur$]0~;~ + \infty[$ par $H(x) = 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x$ est une primitive de la fonction $f$.
2. Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{dx}.$

$$\begin{array}{ll} I&= \displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\:\text{d}x\\ & = \left [ H(x)\right ]_{1}^{\text{e}} \\ & = H(\text{e})-H(1) \\ & = 6\text{e}\ln \text{e} - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 - 2\text{e}-\left ( 6 \ln 1 - \dfrac{3}{2} - 2\right )\\ & = - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 +4\text{e} + \dfrac{7}{2}\\ \end{array}$$
$$I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\:\text{d}x = - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 +4\text{e} + \dfrac{7}{2} $$
3. Donner une interprétation graphique du nombre $I$.

Les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1;\text{e}]$ sont :


Sur l'intervalle 1e la fonction $f$ est positive donc l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}}f(x)\:\text{d}x = - \dfrac{3}{2}\text{e}^2 +4\text{e} + \dfrac{7}{2} $ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=\text{e}$.
4. 1. l'aide du graphique, donner la valeur de $F(1)$.
   
   
   La courbe $\Omega$ passe par le point de coordonnées $(1;-8 )$ donc $F(⁡1)=-8$
   2. En déduire une expression de $F(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle $]0; + \infty[$.
   
   $H$ et $F$ sont deux primitives de la fonction $f $donc pour tout réel $x$ strictement positif, $F(x)=H(x)+C$ où, $C$ est un nombre réel. Comme $F(1)=-8$ alors, $H(1)+C=-8\iff - \dfrac{3}{2}-2+C =-8\iff C =- \dfrac{9}{2}$
   $F$ est la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $F(x)= 6x\ln x - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x -\dfrac{9}{2}$