Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole- La Réunion 8 septembre 2016 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Fonction exponentielle

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en minutes. Dans une entreprise de fabrication de pièces métalliques, un ouvrier doit manipuler des plaques chaudes pendant une dizaine de secondes. À la sortie du four, les plaques sont à une température de 30 °C et disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 26 °C par un système de ventilation. La commission de sécurité prescrit qu'avec les gants actuels, l'ouvrier doit attendre 10 minutes pour manipuler les plaques à leur sortie du four. Afin de réduire ce délai d'attente, le directeur s'interroge sur l'achat de nouveaux gants dont les caractéristiques techniques établies par la commission de sécurité sont les suivantes :

• Sans couture.
• Très doux et confortables.
• Température maximale d'utilisation : 240 °C.

1. Dans cette question, on ne demande pas de justification.
   1. Quelle est, à la sortie du four, la température des plaques ?
   À la sortie du four, les plaques sont à une température de 300°C.
   2. Comment varie, à la sortie du four, la température des plaques au cours du temps ?
   À la sortie du four, les plaques sont disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 26°C donc la température des plaques va baisser.
   3. Vers quelle valeur la température des plaques devrait-elle se stabiliser ?
   La température de la pièce est maintenue à 26°C donc la température des plaques devrait-elle se stabiliser à 26°C.
2. La température d'une plaque depuis sa sortie du four, est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en minutes, par une fonction $g$. On admet que cette fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$ par $g(t) = 274 e^{at} + 26$ où $a$ est un nombre réel.
   1. Calculer $g(0)$. Ce résultat est-il conforme aux données ?
   $$g⁡(0)=274\times e^{0}+26=300$$
   2. D'après la question 1, quel doit être le signe du nombre réel $a$ ?
   Comme la fonction $g$ est décroissante, le nombre réel $a$ est négatif.
   3. On sait que 3 minutes après sa sortie du four la température de la plaque, arrondie à l'unité, est de 262 °C. Montrer que la valeur approchée à $10^{-2}$ près du coefficient $a$ est $-0,05$.
   Le nombre réel $a$ est solution de l'équation : $$\begin{array}{rl} g(3)=262 & \iff 274 e^{3a} + 26= 262 \\ & \iff 274 e^{3a} = 236 \\ &\iff e^{3a} = \dfrac{236}{274} \\ &\iff 3a =\ln\left (\dfrac{236}{274}\right )\\ &\iff a= \dfrac{\ln\left (\dfrac{236}{274}\right )}{3}\approx - 0, 05 \end{array}$$ La valeur approchée à $10^{-2}$ près du coefficient $a$ est $a\approx -0,05$.
3. Dans cette question on considère que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0 ; +\infty [$ : \[ g(t)=274 e^{-0,05t}+26 .\]
   1. Avec les gants actuellement utilisés, à quelle température l'ouvrier pourra-t-il manipuler les plaques après leur sortie du four, en respectant les caractéristiques techniques de la commission de sécurité ?
   $g(10 ) = 274 e^{-0,5} + 26\approx 192$ Avec les gants actuellement utilisés, l'ouvrier pourra manipuler les plaques à la température de 192°C.
   2. Si le directeur décidait d'équiper les ouvriers avec les nouveaux gants, quel délai d'attente minimal serait requis avant que les ouvriers puissent manipuler les plaques ?
   Le délai d'attente $t$ est solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rl} g(t)\leq 240& \iff 274 e^{-0,05t} + 26\leq 240\\ & \iff 274 e^{-0,05t} \leq 214\\ & \iff e^{-0,05t} \leq \dfrac{214}{274}\\ & \iff \ln\left ( e^{-0,05t}\right ) \leq \ln\left (\dfrac{214}{274}\right )\\ & \iff -0,05t \leq \ln\left (\dfrac{214}{274}\right )\\ & \iff t \geq \dfrac{ \ln\left (\dfrac{214}{274}\right )}{-0,05}\\ & \iff t \geq 20 \ln\left (\dfrac{137}{107}\right ) \\ \end{array}$$ Comme $20 \ln\left (\dfrac{137}{107}\right ) \approx 4,943$, on en déduit que : Avec les nouveaux gants, l'ouvrier pourra manipuler les plaques au bout de 5 minutes.
   3. En déduire le gain de temps, en pourcentage, dû à l'utilisation de ces nouveaux gants.
   
   Avec les nouveaux gants, le temps d'attente est divisé par deux soit un gain de 50%.