Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole- La Réunion 8 septembre 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Exercice 2 4 points

Probabilités

Les parties A et B sont indépendantes. Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes. La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04. Un lot de 200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes.

Partie A

La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Le nombre de boîtes est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes par conséquent, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,04$ .
2. Déterminer la probabilité qu'un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes.

2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

$$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
La probabilité qu'un lot contienne exactement quatre boîtes non conformes est 0,055.

Partie B

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par $X$ par la loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma = 2,77$.

1. Justifier le choix de ces paramètres.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n=200 et p=0,04 alors :
• son espérance vaut $E(X)==n\times p= 200\times 0,04=8$ ;
• son écart-type vaut $\sigma =\sqrt{n\times p\times q}= \sqrt{200\times 0,04\times 0,96}\approx 2,77$.
En outre, on a $n=200, n⁢p=200\times 0,04=8$ et $n⁢(1-p)=200\times 0,96=192$.
Donc les trois conditions $n\geq 30, n⁢p\geq 5$ et $n⁢(1-p)\geq 5$ sont réunies pour approcher la loi binomiale par la loi normale.

La loi binomiale suivie par $X$ peut être approchée par la loi normale d'espérance $\mu=8$ et d'écart-type $\sigma=2,77$.
2. À l'aide de la loi normale ainsi définie :
   1. calculer $P(6 \leqslant X \leqslant 10)$ et interpréter le résultat trouvé ;

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   La probabilité qu'un lot contienne entre 6 et 10 boîtes non conformes est 0,53.
   2. déterminer une approximation de la probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes est 0,074.

Partie C

La frequence de boîtes non conformes dans l'échantillon prélevé est $f=\frac{11}{200}=0,055$.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$