Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole- La Réunion 8 septembre 2016 - Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Probabilités

Les parties A et B sont indépendantes. Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes. La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04. Un lot de 200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes.

Partie A

La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes.

 

Partie B

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par $X$ par la loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma = 2,77$.

1. Justifier le choix de ces paramètres.
2. À l'aide de la loi normale ainsi définie :
   1. calculer $P(6 \leqslant X \leqslant 10)$ et interpréter le résultat trouvé ;
   2. déterminer une approximation de la probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes.

 

Partie C

Dans le lot livré de 200 boîtes, on compte 11 boîtes non conformes. Le fabricant des boîtes est averti. Doit-il s'inquiéter ?
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.