Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole- La Réunion 8 septembre 2016 - Exercice 4

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Exercice 4 7 points

Suites

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Dans une municipalité, la collecte des déchets des particuliers s'effectue, depuis 2012, à l'aide de camions équipés de capteurs. Une tarification « incitative » permet aux habitations de diminuer leur facture en réduisant la masse de leurs ordures ménagères résiduelles par un choix de produits comportant moins d'emballages, une réduction du gaspillage alimentaire et un meilleur tri. Le document 1 présente la masse moyenne de déchets, en kilogrammes, collectés par année depuis 2012 et par habitation de la ville. Le document 2 présente les tarifs pratiqués en 2015 par la ville pour la collecte des ordures ménagères résiduelles (on suppose que ces tarifs resteront identiques les années suivantes).

Document 1

Années 2012 à 2015

$$\begin{array} {|c| c|c|c|c|} \hline \text{Année} &\text{2012} & \text{2013} & \text{2014} & \text{2015}\\ \hline \text{Déchets recyclables} & 261 & 275 & 289 & 305\\ \hline \text{Ordures ménagères résiduelles} & 274 & 269 & 262 & 256\\ \hline \text{Total} & 535 & 544 & 551 & 561\\ \hline \end{array}$$

Document 2

Année 2015

$$\begin{array}{|c| c|c|c|} \hline \text{Tranches } \text{tarifaires} & \text{Tranche 1} & \text{Tranche 2} & \text{Tranche 3}\\ \hline \text{Masse M en} \text{kilogrammes} & 0 \leqslant M < 100 & 100 \leqslant M < 300 & 300 \leqslant M \\ \hline \text{Forfait} & 200 € & 300 € & 420 €\\ \hline \end{array} $$

Partie A

 

1. Commenter l'évolution de la masse moyenne des déchets collectés par habitation depuis 2012.
2. Une famille a jeté 320 kg d'ordures ménagères résiduelles en 2015. Si elle diminue la masse de ses ordures ménagères résiduelles de 1 % par an, en quelle année changera-t-elle de tranche tarifaire ?

 

Partie B

En 2015, la municipalité comptait 10000 habitations. Dans le cadre de l'aménagement d'un nouveau quartier un constructeur garantit la livraison de 300 nouvelles habitations chaque année au 1er janvier, de 2016 à 2024. En raison de la demande, ces logements seront immédiatement occupés dès le 1er janvier. La municipalité a souscrit avec un centre d'incinération un contrat de 9 ans qui a pris effet au 1er janvier 2016. Le contrat prévoit de fortes pénalités financières dès que la masse annuelle d'ordures ménagères résiduelles à incinérer vient à dépasser 2800 tonnes. L'objectif de la municipalité est d'éviter ces pénalités.

1. Vérifier que cet objectif ne sera pas atteint si la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation reste constante égale à 256 kg.
2. Afin d'atteindre cet objectif, il convient donc de diminuer la masse moyenne d'ordures ménagères résiduelles à incinérer. La municipalité souhaite déterminer le pourcentage annuel minimal de réduction de la masse moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation, pendant toute la durée du contrat. On admet que l'algorithme ci-dessous détermine ce pourcentage.
   Variables
   • $N$ : un nombre entier
   • $m$ : un nombre réel
   • $q$ : un nombre réel
   Initialisation
   • $q$ prend la valeur 1
   • $N$ prend la valeur 12700
   • $m$ prend la valeur 0,256
   Traitement
   • Tant que $N \times m \geqslant 2800$
     $q$ prend la valeur $q-0,001$
     $m$ prend la valeur $0,256 \times q^9$
   • Fin Tant que
   Sortie Afficher $\left(1-q\right) \times 100$
Cet algorithme affiche 1,7.
1. Expliquer la ligne « $N$ prend la valeur 12700 »
2. Expliquer la ligne « $m$ prend la valeur $0,256 \times q^9$ »
3. On considère que la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation va baisser chaque année de 1,7 %, à partir du 1\up{er} janvier 2016 sur une période de 9 ans. On note $u_n$ cette masse, exprimée en tonnes, pour l'année $2015 + n$ où $n$ est un entier naturel. On a donc $u_0 = 0,256$.
   1. Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et vérifier que $u_3\approx 0,243$. Interpréter $u_3$.
   2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
   3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   4. Vérifier que l'objectif fixé par la municipalité est atteint en fin de 2024.

 

Partie C

Dans cette partie, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$. Des contrôles sont effectués afin de vérifier le tri des déchets.

Protocole d'étude

On choisit au hasard $100$ habitations. Des personnels ont ouvert les poubelles de déchets recyclables de ces habitations afin de déterminer s'ils étaient conformes (absence de matériaux non recyclables, de cartons souillés $\ldots$).

Résultats de l'étude

Parmi ces 100 poubelles de déchets recyclables, 7 ont été jugées non conformes.

1. Déterminer, à l'aide d'un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 %, une estimation de la proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes.
2. La proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes est-elle nécessairement comprise dans cet intervalle de confiance ?