Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 27 novembre 2018 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Equations différentielles

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités. À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.
On note $f(t)$ la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort (t exprimé en milliers d'années).

Partie A

On admet que $f$ est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle : \[ y' = - 0,124y \qquad (E).\]

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
L'équation différentielle $y'=-0,124 y$ est de la forme $y'=ay$ avec $a=-0,124$.
Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(t)= k\text{e}^{-0,124 t}$, où $k$ est une constante réelle quelconque.
Par conséquent, les solutions sur $[0;+\infty[$ de l'équation différentielle  (E) sont les fonctions définies pour tout réel $t$ positif par $f(t)= k\text{e}^{-0,124 t}$ où k est une constante réelle quelconque.
2. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 15,3$.
$f(0)=15,3$ équivaut à $k\text{e}^0=15,3$ soit $k=15,3$
La solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $f(0)=15,3$ est la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par  $f(t)= 15,3\text{e}^{-0,124 t}$

 

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = 15,3\text{e}^{-0,124t}$ sur $[0~;~+\infty[$.

1. Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
La dérivée de la fonction $f$ est la fonction $f'$ définie sur $[0;+\infty[$ par :$f'(t)= 15,3\times (-0,124)e^{-0,124 t}= -1,8972e^{-0,124 t}$.
Comme pour tout réel $t$ on a $e^{-0,124 t}> 0$,par ailleurs $-0,124<0$ on en déduit que sur l'intervalle $[0;+\infty[$ $-1,8972e^{-0,124 t}<0$.
Sur l'intervalle $[0;+\infty[$, on a $f'(t)<0$ donc la fonction $f$ est strictement décroissante.
2. Déterminer la limite de $f$ au voisinage de l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{t \to +\infty}~(-0,124 t)=-\infty \\ \lim\limits_{X \to -\infty}~ \text{e} ^X=0 \end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{t \to +\infty}~ \text{e} ^{-0,124t}=0 $ Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty}~15,3 \text{e} ^{-0,124t}=0$ , et donc $\lim\limits_{t \to +\infty}~f(t)=0$.
La concentration en carbone 14 présent dans un organisme sera proche de 0 à partir d'un certain nombre de milliers d'années après sa mort .

 

Partie C

On rappelle que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de $t$ (en milliers d'années).

1. Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à $7,27$ unités. Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à 6000 ans.
$$\begin{array}{rl} 15,3 \text{e} ^{-0,124t}=7,27&\iff \text{e} ^{-0,124t}=\dfrac{7,27}{15,3}\\ & \iff \ln\left ( \text{e} ^{-0,124t} \right )= \ln\left ( \dfrac{7,27}{15,3} \right )\\ & \iff -0,124t = \ln\left ( \dfrac{7,27}{15,3} \right )\\ &\iff t= \dfrac{\ln\left ( \dfrac{7,27}{15,3} \right )}{-0,124} \end{array}$$ $\dfrac{\ln\left ( \dfrac{7,27}{15,3} \right )}{-0,124}\approx 6$
Ainsi, on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à 6 000 ans.
2. Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à $0,3$ % de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
$$\begin{array}{rl} 15,3 \text{e} ^{-0,124t} < 15,3\times 0,003&\iff \text{e} ^{-0,124t}< 0,003\\ & \iff \ln\left ( \text{e} ^{-0,124t} \right )< \ln\left ( 0,003 \right )\\ & \iff -0,124t < \ln\left ( 0,003 \right )\\ &\iff t> \dfrac{\ln\left (0,003 \right )}{-0,124} \end{array}$$ $\dfrac{\ln\left ( 0,003 \right )}{-0,124}\approx 46,8$
Un organisme ne peut plus être daté au carbone 14 au bout 47 000 ans.