Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 27 novembre 2018 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 : 6 points

Suites

1. Une commune de 2 000 habitants au 1^er janvier 2018 voit sa population augmenter de 5 % tous les ans. Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$ : on a donc $h_0 = 2 000$.
   La suite $\left(h_n\right)$ est une suite géométrique. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
   La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de 16000 Mbit/s au 1^er janvier 2018 et à augmenter ce débit de 2,9 % par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$. On modélise ainsi le débit par la suite $\left(d_n\right)$. On a alors $d_n = 16000 \times 1,029^n$.
2. On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle. Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
   1. Calculer $u_0$ et $u_1$.
   $u_0=\dfrac{d_0}{h_0}$ soit $u_0=\dfrac{16000}{2000}=8$ et $u_1=\dfrac{d_1}{h_1}$ soit $u_1=\dfrac{16000\times 1,029}{2000\times 1,05}\approx 7,84$
   Ainsi, $u_0=8$ et $u_1=7,84$.
   2. Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0,98^n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a : $$\begin{array}{rl} u_n&=\dfrac{d_n}{h_n} \\ & =\dfrac{16000\times 1,029^n}{2000\times 1,05^n}\\ &=8 \times \dfrac{ 1,029^n}{ 1,05^n}\\ &=8 \times\left (\dfrac{ 1,029 }{ 1,05 }\right )^n\\ &=8 \times 0,98^n \\ \end{array}$$ Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=8 \times 0,98^n$.
   3. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=8 \times 0,98^n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $u_0=8$.
   4. Déterminer la limite de la $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
   $0<0,98<1 $ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,98^n=0 $ d'où,$\lim\limits_{n \to +\infty} 8\times 0,98^n=0 $
   $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0 $ donc à partir d'un certain nombre d'années, le débit sera proche de 0 Mbit/s par habitant.
3. Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
   1. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer dans combien d'années le débit sera considéré comme insuffisant. $$ \begin{array}{|l|}\hline U\gets 8\\ N \gets 0\\ \text{Tant que }\:U \ldots\\ \hspace{0.8cm}U \gets \ldots\\ \hspace{0.8cm}N \gets N+1~~~~~ \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array} $$
   $$ \begin{array}{|l|}\hline U\gets 8\\ N \gets 0\\ \text{Tant que }\:U \geq 5\\ \hspace{0.8cm}U \gets 0,98\times U\\ \hspace{0.8cm}N \gets N+1~~~~~ \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array} $$
   2. En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
   Méthode 1 :
   On exécute l'algorithme à la calculatrice, la valeur de la variable $N$ obtenue est $N=24$.
   Méthode 2 :
   On cherche le plus petit entier naturel $n$ solution de l'inéquation $8\times 0,98^n<5$ : $$\begin{array}{rll} u_n< 5 & \iff 8\times 0,98^n<5 &\\ & \iff 0,98^n <\frac{5}{8}&\\ &\iff \ln\left (0,98^n\right ) <\ln \left ( \frac{5}{8}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ &\iff n\ln\left (0,98 \right ) <\ln \left ( \frac{5}{8}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \frac{5}{8}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}&\text{ car } 0,98 <1 \text{ donc } \ln\left (0,98 \right ) <0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left ( \frac{5}{8}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}\approx 23,3$.
   donc le plus petit entier naturel $n$ solution de l'inéquation $8\times0,98^n <5$ est $n=24$.
   Selon ce modèle, c'est en 2042 que le fournisseur d'accès sera dans l'obligation de changer sa technologie.