Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins $80$ avec $1$ litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}.\] La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d'unité $2$ cm en abscisses et $1$ cm en ordonnées.

1. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x.\]
   1. Calculer $\varphi(1)$ et la limite de $\varphi$ en $0$.
   2. Étudier les variations de $\varphi$ sur $]0~;~+ \infty[$. En déduire le signe de $\varphi(x)$ selon les valeurs de $x$.
2. 1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
   2. Montrer que sur $]0~;~+ \infty[$ : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}$. En déduire le tableau de variation de $f$.
   3. Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0~;~1]$. Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. On admettra que l'équation $f(x) = 0$ a également une unique solution $\beta$ sur $[1~;~+ \infty[$ avec $\beta \approx 3,61$ à $10^{-2}$ près.
   4. Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2\ln x - \dfrac{3}{2}(\ln x)^2.\] Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $\alpha$ et $\beta$ de la partie .
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative $C$ de la fonction $f$ restreinte à l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$ ainsi que son symétrique $C'$ par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes $C$ et $C'$ délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de $0,5$ cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins $80$ avec $1$ litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}.\] La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d'unité $2$ cm en abscisses et $1$ cm en ordonnées.

1. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x.\]
   1. Calculer $\varphi(1)$ et la limite de $\varphi$ en $0$.
   $\varphi(1)=1^2-1+3\ln(1)=0$
   $\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-1=-1$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty$
   Donc $\lim\limits_{x \to 0^+}\varphi(x)=-\infty$
   $\quad$
   
   2. Étudier les variations de $\varphi$ sur $]0~;~+ \infty[$. En déduire le signe de $\varphi(x)$ selon les valeurs de $x$.
   La fonction $\varphi$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\varphi'(x)=2x+\dfrac{3}{x} >0$ sur $]0;+\infty[$.
   La fonction $\varphi$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   Puisque $\varphi(1)=0$ cela signifie donc que :
   – $\varphi(x)<0$ sur l’intervalle $]0;1[$
   – $\varphi(1)=0$
   – $\varphi(x)>0$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$
   $\quad$
2. 1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
   $f(x)=\dfrac{x^2-2x-2-3\ln(x)}{x}$
   $\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-2x-2=-2$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} -3\ln(x)=+\infty$
   Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} x^2-2x-2-3\ln(x)=+\infty$
   $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$
   $\quad$
   $f(x)=x-2-\dfrac{2}{x}-3\dfrac{\ln(x)}{x}$
   $\lim\limits_{x \to +\infty}x-2=+\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$
   $\quad$
   
   2. Montrer que sur $]0~;~+ \infty[$ : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x^2}$. En déduire le tableau de variation de $f$.
   La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(2x-2-\dfrac{3}{x}\right)x-\left(x^2-2x-2-3\ln(x)\right)}{x^2} \\
   &=\dfrac{2x^2-2x-3-x^2+2x+2+3\ln(x)}{x^2}\\
   &=\dfrac{x^2-1+3\ln(x)}{x^2}\\
   &=\dfrac{\varphi(x)}{x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   • Signe de la dérivée :
     
   • Tableau de variations :
     
   3. Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0~;~1]$. Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. On admettra que l'équation $f(x) = 0$ a également une unique solution $\beta$ sur $[1~;~+ \infty[$ avec $\beta \approx 3,61$ à $10^{-2}$ près.
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1]$.
   $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$ et $f(1)=-3$
   Donc $0\in[-3;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
   À l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 0,41$
   $\quad$
   
   4. Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2\ln x - \dfrac{3}{2}(\ln x)^2.\] Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
   $F$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2x-2-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{2}\times 2\times \dfrac{1}{x}\times \ln(x) \\
   &=x-2-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3\ln(x)}{x} \\
   &=\dfrac{x^2-2x-2-3\ln(x)}{x}\\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;1[$.
   $\quad$

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $\alpha$ et $\beta$ de la partie .

La fonction $-f$ est positive sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
Calculons l’aire $I$ du domaine compris entre la courbe $C’$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=\alpha$ et $x=\beta$.
$\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -f(x)\;dx \\
&=-\left(F(\beta)-F(\alpha)\right) \\
&\approx 5,598
\end{align*}$

L’aire $\mathscr{A}$ de la face supérieure est donc $2I\approx 11,196$ u.a.
Or $1$u.a. = 2 cm$^2$
Donc $\mathscr{A}\approx 22,392$ cm$^2$.

Le volume du palet est $V=\mathscr{A} \times 0,5\approx 11,196$ cm$^2$.

Par conséquent $80$ palets ont un volume de $80V\approx 895,68$ cm$^3$ (qui est bien inférieur à $1$ litre $=1~000$ cm$^3$) .

La contrainte de rentabilité est donc respectée.

$\quad$

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH.

1. 1. Simplifier le vecteur $\vec{\text{AC}} + \vec{\text{AE}}$.
   2. En déduire que $\vec{\text{AG}}~\cdot~\vec{\text{BD}} = 0$.
   3. On admet que $\vec{\text{AG}}~\cdot~\vec{\text{BE}} = 0$. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

   

2. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$.
   1. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (BDE) est $x + y + z - 1 = 0$.
   2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE).
   3. On admet que l'aire, en unité d'aire, du triangle BDE est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Calculer le volume de la pyramide BDEG.

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH.

1. 1. Simplifier le vecteur $\vec{\text{AC}} + \vec{\text{AE}}$.
   $\vec{AC}+\vec{AE}=\vec{AC}+\vec{CG}=\vec{AG}$ d’après la relation de Chasles.
   $\quad$
   
   2. En déduire que $\vec{\text{AG}}~\cdot~\vec{\text{BD}} = 0$.
   $\begin{align*} \vec{AG}.\vec{BD}&=\left(\vec{AC}+\vec{AE}\right).\vec{BD} \\
   &=\vec{AC}.\vec{BD}+\vec{AE}.\vec{BD} \\
   &=0+0\\
   &=0
   \end{align*}$
   $\vec{AC}.\vec{BD}=0$ car $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales du carré $BCD$ (donc perpendiculaires entre-elles).
   $\vec{AE}.\vec{BD}=0$ car $(AE)$ est orthogonale au plan $BCD$
   $\quad$
   
   3. On admet que $\vec{\text{AG}}~\cdot~\vec{\text{BE}} = 0$. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
   Le vecteur $\vec{AG}$ est othogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Il est donc orthogonal à ce plan.
   Par conséquent la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.

   

2. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$.
   1. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (BDE) est  $x + y + z - 1 = 0$.
   Dans le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$ on a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
   Par conséquent $\vec{AG}(1;1;1)$.
   Une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est donc de la forme $x+y+z+d=0$.
   Le point $B(1;0;0)$ appartient à ce plan donc $1+0+0+d=0 \iff d=-1$.
   Une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est donc $x+y+z+z-1=0$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE).
   Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $\begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\end{cases}$ $\quad k\in \mathbb{R}$.
   Le point $K$ appartient à la fois à la droite $(AG)$ et au plan $(BDE)$.
   Ses coordonnées sont donc solution du système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\x+y+z-1=0\end{cases} & \iff \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\3k-1=0\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}\\
   &\iff \begin{cases} x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{1}{3}\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}
   \end{align*}$.
   Donc $K\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
   
   3. On admet que l'aire, en unité d'aire, du triangle BDE est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Calculer le volume de la pyramide BDEG.
   On a $KG=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
   Le volume de la pyramide $BDEG$ est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{aire}_{BDE}\times KG}{3}\\
   &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{3} \\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 3 (3 points)

Probabilités Commun à tous les candidats

Partie A

Un organisme de contrôle sanitaire s'intéresse au nombre de bactéries d'un certain type contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur 10000 prélèvements de 1 ml de crème fraîche dans l'ensemble de la production française. Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l'histogramme ci-dessous : $$ \begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \small \text{Nombre de bactéries (en milliers)}&[100~;~120[&[120~;~130[ &[130~;~140[&[140~;~150[ &[150~;~160[ &[160~;~180[\\ \hline \small \text{Nombre de prélèvements }& 1597 & 1284 & 2255 & 1808 & 1345 & 1711 \\ \hline \end{array} $$

À l'aide de la calculatrice, donner une estimation de la moyenne et de l'écart-type du nombre de bactéries par prélèvement.

Partie B

L'organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par ml) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $\mu = 140$ et $\sigma = 19$.

1. 1. Ce choix de modélisation est-il pertinent? Argumenter.
   2. On note $p = P(X \geqslant 160)$. Déterminer la valeur arrondie de $p$ à $10^{-3}$.
2. Lors de l'inspection d'une laiterie, l'organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de $50$ prélèvements de $1$ ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie ; $13$ prélèvements contiennent plus de $160$ milliers de bactéries.
   1. L'organisme déclare qu'il y a une anomalie dans la production et qu'il peut l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier sa déclaration.
   2. Aurait-il pu l'affirmer avec une probabilité de $0,01$ de se tromper ?

Correction de l'exercice 3 (3 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Un organisme de contrôle sanitaire s'intéresse au nombre de bactéries d'un certain type contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur 10000 prélèvements de 1 ml de crème fraîche dans l'ensemble de la production française. Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l'histogramme ci-dessous : $$ \begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \small \text{Nombre de bactéries (en milliers)}&[100~;~120[&[120~;~130[ &[130~;~140[&[140~;~150[ &[150~;~160[ &[160~;~180[\\ \hline \small \text{Nombre de prélèvements }& 1597 & 1284 & 2255 & 1808 & 1345 & 1711 \\ \hline \end{array} $$

On va utiliser le centre de chacune des classes et utiliser le tableau suivant pour calculer, à l’aide de la calculatrice, les valeurs demandées.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Centre}&110&125&135&145&155&170\\
\hline
\text{Effectif}&1~597&1~284&2~255&1~808&1~345&1~711\\
\hline
\end{array}$

Une estimation de la moyenne est $\overline{x}=140,21$ et une estimation de l’écart-type est $\sigma\approx 19,16$.

$\quad$

Partie B

L'organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par ml) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $\mu = 140$ et $\sigma = 19$.

1. 1. Ce choix de modélisation est-il pertinent? Argumenter.
   Le nombre de bactéries présentes dépend de plusieurs facteurs : températures, hygiène, soucis sur la chaîne de production, … Une loi normale est donc bien appropriée pour modéliser la situation étudiée.
   À la partie A, nous avons obtenu des estimations de moyenne et d’écart-type très proche des valeurs proposées.
   Le choix de modélisation proposé est donc pertinent.
   $\quad$
   
   2. On note $p = P(X \geqslant 160)$. Déterminer la valeur arrondie de $p$ à $10^{-3}$.
   $p=P(X\geqslant 160)=0,5-P(140 \leqslant X \leqslant160) \approx 0,146$
   $\quad$ ou de façon plus directe :

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2. Lors de l'inspection d'une laiterie, l'organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de $50$ prélèvements de $1$ ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie ; $13$ prélèvements contiennent plus de $160$ milliers de bactéries.
   1. L'organisme déclare qu'il y a une anomalie dans la production et qu'il peut l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier sa déclaration.
   On a $n=50 \geq 30$ et $p=0,146$ donc $np=7,3\geq 5$ et $n(1-p)=42,7\geq 5$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est
   $\begin{align*} I_{50}&=\left[0,146-1,96\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}};0,146+1,96\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}}\right] \\
   &\approx [0,048;0,244]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{13}{50}=0,26\notin I_{50}$
   On peut donc affirmer au risque de $5\%$ qu’il y a une anomalie dans la production.
   $\quad$
   
   2. Aurait-il pu l'affirmer avec une probabilité de $0,01$ de se tromper ?
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $99\%$ est
   $\begin{align*} J_{50}&=\left[0,146-2,58\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}};0,146+2,58\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}}\right] \\
   &\approx [0,017;0,275]
   \end{align*}$
   La fréquence observée $f$ appartient alors à l’intervalle $J_{50}$.
   Au risque de $1\%$, on ne peut donc pas affirmer qu’il y a une anomalie dans la production.
   $\quad$

Exercice 4 3 points

Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$

1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.
2. On considère l'équation \[(E) \::\: z^2 - \sqrt{6}\,z + 2 = 0.\] Montrer qu'une des solutions de $(E)$ est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

Correction de l'exercice 4 3 points

Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$

1. Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.
$\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}=\dfrac{2\text{e}^{\text{i} \pi/4}}{2\text{e}^{3\text{i} \pi/4}}=\text{e}^{\text{i} \pi/2}$.
Par conséquent $\left(\vec{OA};\vec{OB}\right)=$arg$\left(\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
De plus $\left|\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right|=1$.
Le triangle $OAB$ est donc rectangle isocèle en $O$.
$\quad$
2. On considère l'équation \[(E) \::\: z^2 - \sqrt{6}\,z + 2 = 0.\] Montrer qu'une des solutions de $(E)$ est l'affixe d'un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.
Le centre $I$ du cercle circonscrit au triangle $OAB$ est le milieu de l’hypoténuse $[AB]$.
Par conséquent
$\begin{align*}z_I&=\dfrac{z_A+z_B}{2}\\
&=\dfrac{2\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+\text{i} \sin \dfrac{\pi}{4}\right)+2\left(\cos \dfrac{3\pi}{4}+\text{i} \sin \dfrac{3\pi}{4}\right)}{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
&=\text{i}\sqrt{2}
\end{align*}$
$OA=\left|z_A\right|=2$.
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OAB$ : $AB^2=OA^2+OB^2=8$.
Donc $AB=2\sqrt{2}$.
Le rayon du cercle circonscrit au cercle $OAB$ est donc $R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{2}$.
On considère l’équation $(E)~~ :~~ z^2-\sqrt{6}z+2=0$
$\Delta=6-8=-2<0$
Il y a donc deux solutions complexes :
$z_1=\dfrac{\sqrt{6}-\text{i}\sqrt{2}}{2}$ et $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{\sqrt{6}+\text{i}\sqrt{2}}{2}$
$\begin{align*} \left|z_2-z_I\right|&=\left|\dfrac{\sqrt{6}+\text{i}\sqrt{2}}{2}-\text{i}\sqrt{2}\right| \\
&=\left|\dfrac{\sqrt{6}-\text{i}\sqrt{2}}{2}\right|\\
&=\sqrt{\dfrac{6+2}{4}}\\
&=\sqrt{2}\\
&=R
\end{align*}$
Ainsi le point d’affixe $z_2$ appartient au cercle circonscrit au triangle $OAB$.
$\quad$

Exercice 5 (5 points)

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à 12000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60000 individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc $v_0 = 12$.

1. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.\]
   1. Justifier que $g$ est croissante sur [0~;~60].
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $g(x) = x$.
2. On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
   1. Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   4. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
   5. On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 50000 individus avec ce second modèle. Il utilise l'algorithme suivant. $$ \begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables } & n \text{ un entier naturel}\\ &u \text{ un nombre réel}\\ \hline \text{Traitement} &n \text{ prend la valeur }0 \\ & u \text{ prend la valeur } 12\\ &\text{Tant Que} \cdots\\ &\hspace{1.5cm} u \text{ prend la valeur } \cdots\\ &\hspace{1.5cm} n \text{ prend la valeur } \cdots\\ &\text{Fin Tant Que}\\ \hline \text{ Sortie } &\text{Afficher} \cdots\\ \hline \end{array} $$ Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r \geqslant 50$.

Exercice 5 (5 points)

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à 12000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60000 individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc $v_0 = 12$.

1. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Chaque année la population est multipliée par $1,05$.
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=12$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=12\times 1,05^n$.
$\quad$
2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
$1,05>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 1,05^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=+\infty$
Ce modèle ne répond donc pas aux contraintes du milieu naturel.
$\quad$

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.\]
   1. Justifier que $g$ est croissante sur [0~;~60].
   La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0;60]$ en tant que fonction polynôme.
   $g'(x)=-\dfrac{-2,2}{605}x+1,1$
   Donc
   $\begin{align*} g'(x)>0 &\iff  -\dfrac{-2,2}{605}x+1,1>0 \\
   &\iff -\dfrac{2,2}{605}x > -1,1 \\
   &\iff x<302,5
   \end{align*}$
   La fonction $g$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;60]$.
   
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $g(x) = x$.
   
   $\begin{align*} g(x)=x &\iff -\dfrac{1,1}{605}x^2+1,1x=x \\
   &\iff -\dfrac{1,1}{605}x^2+0,1x=0 \\
   &\iff x\left(-\dfrac{1,1}{605}x+0,1\right)=0 \\
   &\iff x=0 \text{ ou } -\dfrac{1,1}{605}x+0,1=0\\
   &\iff x=0 \text{ ou } x= 55
   \end{align*}$
   L’équation $g(x)=x$ possède donc deux solutions dans $\mathbb{R}$ qui sont $0$ et $55$.
   $\quad$
2. On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
   1. Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
   $u_1=g(12)\approx 12,938$.
   Cela signifie donc qu’en 2017 la population de l’espèce sera environ de $12~938$ individus.
   $\quad$
   
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=12$ donc $0 \leq u_0 \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 \leq u_n \leq 55$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;60]$
   Puisque $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$
   Cela signifie que $g(0) \leq u_{n+1} \leq g(55) \iff 0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0 \leq u_n \leq 55$
   $\quad$
   
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=12$ donc $0 \leq u_0 \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 \leq u_n \leq 55$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;60]$
   Puisque $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$
   Cela signifie que $g(0) \leq u_{n+1} \leq g(55) \iff 0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0 \leq u_n \leq 55$
   $\quad$
   
   4. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $55$: elle est donc convergente.
   $\quad$
   
   5. On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
   D’après la question B.1.b. les solutions de l’équation $g(\ell)=\ell$ sont $0$ et $55$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=12$ donc $\ell=55$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=55$.
   Cela signifie que la population étudiée, au bout d’un grand nombre d’années, sera de $55~000$ individus.
   Les contraintes du milieu naturel sont donc respectées.
   $\quad$
3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 50000 individus avec ce second modèle. Il utilise l'algorithme suivant. $$ \begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables } & n \text{ un entier naturel}\\ &u \text{ un nombre réel}\\ \hline \text{Traitement} &n \text{ prend la valeur }0 \\ & u \text{ prend la valeur } 12\\ &\text{Tant Que} \cdots\\ &\hspace{1.5cm} u \text{ prend la valeur } \cdots\\ &\hspace{1.5cm} n \text{ prend la valeur } \cdots\\ &\text{Fin Tant Que}\\ \hline \text{ Sortie } &\text{Afficher} \cdots\\ \hline \end{array} $$ Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r \geqslant 50$.
Variables :
$\quad$ $n$ un entier naturel
$\quad$ $u$ un nombre réel
Traitement :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $u$ prend la valeur $12$
$\quad$ Tant Que $u< 50$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $-\dfrac{1,1}{605}u^2+1,1u$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\quad$ Fin Tant Que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un jeu vidéo en ligne, les joueurs peuvent décider de rejoindre l'équipe A (statut noté A) ou l'équipe B (statut noté B) ou bien de n'en rejoindre aucune et rester ainsi solitaire (statut noté S). Chaque jour, chaque joueur peut changer de statut mais ne peut pas se retirer du jeu. Les données recueillies sur les premières semaines après le lancement du jeu ont permis de dégager les tendances suivantes :

• un joueur de l'équipe A y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; il devient joueur solitaire avec une probabilité de $0,25$. Sinon, il rejoint l'équipe B ;
• un joueur de l'équipe B y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; sinon, il devient joueur solitaire avec une probabilité identique à celle de rejoindre l'équipe A ;
• un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$ ; il rejoint l'équipe B avec une probabilité 3 fois plus élevée que celle de rejoindre l'équipe A.

Au début du jeu, à la clôture des inscriptions, tous les joueurs sont solitaires. On note $U_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n& s_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste des statuts d'un joueur au bout de $n$ jours. Ainsi $a_n$ est la probabilité d'être dans l'équipe A, $b_n$ celle d'être dans l'équipe B et $s_n$ celle d'être un joueur solitaire, après $n$ jours de jeu. On a donc : $a_0 = 0$, $b_0 = 0$ et $s_0 = 1$.

1. On note $p$ la probabilité qu'un joueur solitaire un jour donné passe dans l'équipe A le jour suivant. Justifier que $p = \dfrac{3}{14}$.
2. 1. Recopier et compléter le graphe probabiliste ci-dessous représentant la situation.
      
   2. On admet que la matrice de transition est $T = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\ \frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix}$. Pour tout entier naturel $n$, on a donc $U_{n+1} = U_n T$. Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = U_0T^n$.
   3. Déterminer l'état probabiliste au bout d'une semaine, en arrondissant au millième.
3. On pose $V = \begin{pmatrix}300 &405 &182\end{pmatrix}$.
   1. Donner, sans détailler les calculs, le produit matriciel $VT$. Que constate-t-on ?
   2. En déduire un état probabiliste qui reste stable d'un jour sur l'autre.
4. On donne l'algorithme suivant, où la commande « $U[i]$ » renvoie le coefficient de la $i$-ème colonne d'une matrice ligne $U$. $$ \begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables } & k \text{un entier naturel}\\ & U \text{ une matrice de taille } 1 \times 3 \\ & T \text{ une matrice carrée d'ordre } 3\\ \hline \text{Traitement } & U \text{ prend la valeur }\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix} \\ & T \text{ prend la valeur }\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix} \\ &\text{ Pour } k \text{allant de 1 à 7}\\ &\hspace{1cm} U \text{ prend la valeur } UT \\ &\text{Fin Pour}\\ \hline \text{ Sortie }&\text{Afficher }U[1] \\ \hline \end{array} $$
   1. Quelle est la valeur numérique arrondie au millième de la sortie de cet algorithme ? L'interpréter dans le contexte de l'exercice.
   2. Recopier et modifier cet algorithme pour qu'il affiche la fréquence de joueurs solitaires au bout de $13$ jours.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un jeu vidéo en ligne, les joueurs peuvent décider de rejoindre l'équipe A (statut noté A) ou l'équipe B (statut noté B) ou bien de n'en rejoindre aucune et rester ainsi solitaire (statut noté S). Chaque jour, chaque joueur peut changer de statut mais ne peut pas se retirer du jeu. Les données recueillies sur les premières semaines après le lancement du jeu ont permis de dégager les tendances suivantes :

• un joueur de l'équipe A y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; il devient joueur solitaire avec une probabilité de $0,25$. Sinon, il rejoint l'équipe B ;
• un joueur de l'équipe B y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$ ; sinon, il devient joueur solitaire avec une probabilité identique à celle de rejoindre l'équipe A ;
• un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$ ; il rejoint l'équipe B avec une probabilité 3 fois plus élevée que celle de rejoindre l'équipe A.

Au début du jeu, à la clôture des inscriptions, tous les joueurs sont solitaires. On note $U_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n& s_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste des statuts d'un joueur au bout de $n$ jours. Ainsi $a_n$ est la probabilité d'être dans l'équipe A, $b_n$ celle d'être dans l'équipe B et $s_n$ celle d'être un joueur solitaire, après $n$ jours de jeu. On a donc : $a_0 = 0$, $b_0 = 0$ et $s_0 = 1$.

1. On note $p$ la probabilité qu'un joueur solitaire un jour donné passe dans l'équipe A le jour suivant. Justifier que $p = \dfrac{3}{14}$.
Un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$;il rejoint l’équipe B avec une probabilité $3$ fois plus élevée que celle de rejoindre l’équipe A.
Cela signifie donc que :
$\begin{align*} \dfrac{1}{7}+3p+p=1 &\iff 4p=\dfrac{6}{7} \\
&\iff p=\dfrac{3}{14}
\end{align*}$
$\quad$
2. 1. Recopier et compléter le graphe probabiliste ci-dessous représentant la situation.
      
   
   
   2. On admet que la matrice de transition est $T = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\ \frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix}$. Pour tout entier naturel $n$, on a donc $U_{n+1} = U_n T$. Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = U_0T^n$.
   Montrons par récurrence cette propriété.
   Initialisation : Si $n=0$ on a $U_0=U_0=U_0T^0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=U_0T^n$
   Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $U_{n+1}=U_0T^{n+1}$
   $\begin{align*} U_{n+1}&=U_nT\\
   &=U_0TT^n\\
   &=U_0T^{n+1}
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n=U_0T^n$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer l'état probabiliste au bout d'une semaine, en arrondissant au millième.
   On a $U_1=U_0T=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{14}&\dfrac{9}{14}&\dfrac{1}{7}\end{pmatrix}$
   Au bout d’une semaine on a : $a_1 \approx 0,214$, $b_1\approx 0,643$ et $s_1\approx 0,143$.
   $\quad$
3. On pose $V = \begin{pmatrix}300 &405 &182\end{pmatrix}$.
   1. Donner, sans détailler les calculs, le produit matriciel $VT$. Que constate-t-on ?
   On a $VT=\begin{pmatrix}300&405&182\end{pmatrix}=V$
   $\quad$
   
   2. En déduire un état probabiliste qui reste stable d'un jour sur l'autre.
   L’état $V$ est donc stable d’un jour sur l’autre.
4. On donne l'algorithme suivant, où la commande « $U[i]$ » renvoie le coefficient de la $i$-ème colonne d'une matrice ligne $U$. $$ \begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables } & k \text{un entier naturel}\\ & U \text{ une matrice de taille } 1 \times 3 \\ & T \text{ une matrice carrée d'ordre } 3\\ \hline \text{Traitement } & U \text{ prend la valeur }\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix} \\ & T \text{ prend la valeur }\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&\frac{3}{20}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{14}&\frac{9}{14}&\frac{1}{7}\end{pmatrix} \\ &\text{ Pour } k \text{allant de 1 à 7}\\ &\hspace{1cm} U \text{ prend la valeur } UT \\ &\text{Fin Pour}\\ \hline \text{ Sortie }&\text{Afficher }U[1] \\ \hline \end{array} $$
   1. Quelle est la valeur numérique arrondie au millième de la sortie de cet algorithme ? L'interpréter dans le contexte de l'exercice.
   L’algorithme affiche donc $a_7 \approx 0,338$.
   Au bout de $7$ jours, environ $33,8\%$ des joueurs sont dans l’équipe A.
   $\quad$
   
   2. Recopier et modifier cet algorithme pour qu'il affiche la fréquence de joueurs solitaires au bout de $13$ jours.
   On peut utilise l’algorithme suivant :
   Variables :
   $\quad$ $k$ un entier naturel
   $\quad$ $U$ une matrice de taille $1\times 3$
   $\quad$ $T$ une matrice carrée d’ordre $3$
   Traitement :
   $\quad$ $U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$
   $\quad$ $T$ prend la valeur $\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}&\dfrac{3}{20}&\dfrac{1}{4}\\
   \dfrac{1}{5}&\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{5}\\
   \dfrac{3}{14}&\dfrac{9}{14}&\dfrac{1}{7}\end{pmatrix}$
   $\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $13$
   $\qquad$ $U$ prend la valeur $UT$
   $\quad$ Fin Pour
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $U[3]$.
   $\quad$

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Un parc d'attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n'est autorisé qu'aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40 m et dont l'âge est compris entre 10 et 70 ans. Des études statistiques sont menées pour évaluer l'affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.
On arrondira, si nécessaire, les probabilités à  $10^{-4}$.

1. 1. La taille en centimètres d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $165$ et d'écart-type $20$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit?
   2. L'âge d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $30$ et d'écart-type $17$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit ?
   3. Les études menées permettent d'établir que 89 % des visiteurs ont la taille exigée, 87 % ont l'âge requis mais 8 % n'ont ni la taille, ni l'âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
2. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25 % des personnes ont attendu moins de 30 min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95 % sont satisfaites de l'attraction. En revanche, 22 % des personnes ayant attendu plus de $30$~min ne sont pas satisfaites de l'attraction. On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit. On note $A$ l'évènement « le visiteur a attendu plus de $30$min » et $S$ l'évènement « le visiteur est satisfait de l'attraction ».
   1. Montrer que la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut 0,8225.
   2. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min ?
3. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d'attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites. Le directeur peut-il être rassuré ?

Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Un parc d'attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n'est autorisé qu'aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40 m et dont l'âge est compris entre 10 et 70 ans. Des études statistiques sont menées pour évaluer l'affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.
On arrondira, si nécessaire, les probabilités à  $10^{-4}$.

1. 1. La taille en centimètres d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $165$ et d'écart-type $20$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit?
   On veut calculer :
   $P(T\geqslant 140) = 0,5+P(140 \leqslant T \leqslant 165) \approx 0,894~4$.
   La probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit est environ $0,894~4$.
   $\quad$
   Ou directement :

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   2. L'âge d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $30$ et d'écart-type $17$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit ?
   On veut calculer :
   $P(10 \leqslant X \leqslant 70) \approx 0,871~0$
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   La probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit est environ $0,871~0$.
   $\quad$
   
   3. Les études menées permettent d'établir que 89 % des visiteurs ont la taille exigée, 87 % ont l'âge requis mais 8 % n'ont ni la taille, ni l'âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
   On appelle $A$ l’événement “le visiteur à l’âge requis” et $B$ l’événement “le visiteur à la taille requise”.
   On sait donc que $p(A\cup B) = 1-0,08=0,92$
   De plus $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
   $\iff 0,92=0,89+0,87-P(A\cap B)$
   $\iff P(A\cap B)=0,84$
   $84\%$ des visiteurs vérifient donc les 2 conditions.
   $\quad$
2. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25 % des personnes ont attendu moins de 30 min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95 % sont satisfaites de l'attraction. En revanche, 22 % des personnes ayant attendu plus de $30$~min ne sont pas satisfaites de l'attraction. On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit. On note $A$ l'évènement « le visiteur a attendu plus de $30$min » et $S$ l'évènement « le visiteur est satisfait de l'attraction ».
   1. Montrer que la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut 0,8225.
   On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{array}{c} P(S)&=P(S\cap A)+P\left(S\cap \overline{A}\right) \\
   &=0,75 \times 0,78+0,25\times 0,95 \\
   &=0,822~5
   \end{array}$
   $\quad$
   
   2. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min ?
   On veut calculer la probabilité :
   $\begin{array}{c} P_{\overline{S}}\left(\overline{A}\right) &=\dfrac{P\left(\overline{S}\cap\overline{A}\right)}{P\left(\overline{S}\right)} \\
   &=\dfrac{0,25\times 0,05}{1-0,822~5} \\
   &\approx 0,070~4
   \end{array}$
   La probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ minutes est environ $0,070~4$.
   $\quad$
3. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d'attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites. Le directeur peut-il être rassuré ?
On a $n=200 \geqslant 30$ et $p=0,822~5$ donc $np=164,5 \geqslant 5$ et $n(1-p)=35,5 \geqslant 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de visiteurs satisfaits est donc :
$\begin{array}{c} I_{200}&=\left[0,822~5-1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}};0,822~5+1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}}\right] \\
&\approx [0,655~0;0,990~0]
\end{array}$
La fréquence observée de visiteurs satisfaits est donc $f=\dfrac{200-46}{200}=0,77 \in I_{200}$.
Le directeur peut donc être rassuré.
$\quad$

Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0) = N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre $a$ tel que \[N(t) = N_0\text{e}^{at}.\]

1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines. En déduire la valeur du paramètre $a$.
2. En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t \geqslant 0$, \[N(t) = N_0\text{e}^{0,05t}.\] La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à $10^4$ cellules indétectables. En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait -elle redevenir détectable au toucher ?

PartieB

Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$, peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[c(t) = \dfrac{D}{k}\left(1 - \text{e}^{- \frac{k}{80}t}\right)\] où

• $D$ est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure;
• $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

1. Détermination de la clairance Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 $\mu$mol.h$^{-1}$ ; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 $\mu$mol.L$^{-1}$.
   1. Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l'équation \[112 \left(1- \text{e}^{-\frac{3}{40} k}\right) - 6,8k = 0.\]
   2. Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
   3. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
2. Réglage du débit
   1. Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
   2. La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$. En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0) = N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre $a$ tel que \[N(t) = N_0\text{e}^{at}.\]

1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines. En déduire la valeur du paramètre $a$.
On sait que
$\begin{array}{rl} N(14)=2N_0 &\iff 2N_0=N_0\text{e}^{14a} \\
&\iff 2=e^{14a} \\
&\iff \ln(2)=14a \\
&\iff a=\dfrac{\ln(2)}{14}
\end{array}$
$\quad$
2. En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t \geqslant 0$, \[N(t) = N_0\text{e}^{0,05t}.\] La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à $10^4$ cellules indétectables. En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait -elle redevenir détectable au toucher ?
On veut résoudre l’inéquation :
$\begin{array}{rl} N(t)\geqslant 10^9 &\iff 10^4\text{e}^{0,05t} \geqslant 10^9 \\
&\iff e^{0,05t}\geqslant 10^5 \\
&\iff 0,05t \geqslant \ln\left(10^5\right) \\
&\iff t \geqslant \dfrac{ \ln\left(10^5\right)}{0,05}
\end{array}$
C’est donc entre la $230^{\text{e}}$ et la $231^{\text{e}}$ semaine que la tumeur pourrait redevenir détectable au toucher.
$\quad$

PartieB

Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$, peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[c(t) = \dfrac{D}{k}\left(1 - \text{e}^{- \frac{k}{80}t}\right)\] où

• $D$ est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure;
• $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

1. Détermination de la clairance Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 $\mu$mol.h$^{-1}$ ; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 $\mu$mol.L$^{-1}$.
   1. Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l'équation \[112 \left(1- \text{e}^{-\frac{3}{40} k}\right) - 6,8k = 0.\]
   Avec $D=112$, $k$ est solution de l’équation :
   $\begin{array}{rl}c(6)=6,8 &\iff \dfrac{112}{k}\left(1-\text{e}^{-\frac{6k}{80}}\right)=6,8 \\
   &\iff 112\left(1-\text{e}^{-\frac{3k}{40}}\right)=6,8k \\
   &\iff 112\left(1-\text{e}^{-\frac{3k}{40}}\right)-6,8k=0
   \end{array}$
   $\quad$
   
   2. Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
   On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=112\left(1-\text{e}^{-\frac{3x}{40}}\right)-6,8x$.
   Cette fonction est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{array}{rl} f'(x)&=112\times \dfrac{3}{40}\text{e}^{-\frac{3x}{40}}-6,8 \\
   &=8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8
   \end{array}$
   $\begin{array}{rl} f'(x)=0 &\iff 8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8 = 0 \\
   &\iff \text{e}^{-\frac{3x}{40}}=\dfrac{17}{21} \\
   &\iff -\dfrac{3x}{40}=\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
   &\iff x=-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
   \end{array}$
   et
   $\begin{array} {rl}f'(x)>0 &\iff 8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8 > 0 \\
   &\iff \text{e}^{-\frac{3x}{40}}>\dfrac{17}{21} \\
   &\iff -\dfrac{3x}{40}>\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
   &\iff x<-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
   \end{array}$
   On note $\alpha = -\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;\alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
   $f(0)=0$ donc, puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;\alpha[$ on a $f(x)>0$ et l’équation $f(x)=0$ ne possède pas de solution sur ce dernier intervalle.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
   $f(\alpha) \approx 2,17 > 0$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{3x}{40}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \\text{e}^{X}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\frac{3x}{40}}=0$ etc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
   Or $0\in \left]-\infty;f(\alpha)\right[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $k_0$ sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ et donc finalement sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   
   3. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
   D’après la calculatrice $k_0\approx 5,85$.
   La clairance du patient est donc de $5,85$L.h$^{-1}$.
   $\quad$
2. Réglage du débit
   1. Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
   Puisque $k>0$ on a $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{kt}{80}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} c(t)=\dfrac{D}{k}$
   $\quad$
   
   2. La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$. En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.
   On veut que $\dfrac{D}{5,85}<16 \iff D < 93,6$.
   Le débit doit donc être de $93,6$ µmol.L$^{-1}$.
   $\quad$

Exercice 3 3 points

Trigonométrie

On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, \[\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b).\] Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$.

1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.
2. Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$. Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : \[\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}, \:\text{avec }\:\theta \in \left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[ \:\text{et}\: \rho > 0.\]
3. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine O du repère.

Correction de l'exercice 3 (3 points)

Commun à tous les candidats

On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, \[\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b).\] Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$.

1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.
Si $-\dfrac{\pi}{4} < \theta< \dfrac{3\pi}{4} $ alors$ -\dfrac{\pi}{2} < \theta-\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} $ puis $ \cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0$ car le cosinus est positif sur l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$.
$\quad$

2. Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$. Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : \[\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}, \:\text{avec }\:\theta \in \left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[ \:\text{et}\: \rho > 0.\]
$\begin{align*} M\in \mathscr{D} &\iff \rho\sin \theta=-\rho \cos \theta +2 \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho\sin\theta+\rho \cos \theta = 2 \text{ et } \rho >0\\
&\iff \rho\left(\cos \theta+\sin \theta\right)=2 \text{ et } \rho >0\\
&\iff \rho=\dfrac{2}{\cos \theta+\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0 \\
&\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \theta \in \left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[
\end{align*}$

3. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine O du repère.
$M$, appartenant à la droite $\mathscr{D}$, est le plus proche de $O$ quand $\rho$ est le plus petit c’est-à-dire quand $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ est le plus grand soit quand $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes.
On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} u_0 &=&0,3\\ u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
2. On admet que, pour tout entier naturel $n\:$, $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle $[0~;~1]$.
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n\:$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
3. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction. On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence. $$\begin{array}{|l c|}\hline \text{Variables} : & u \text{ est un réel}\\ & n \text{ est un entier naturel}\\ \textbf{Traitement} : & u \text{ prend la valeur } 0,3 \\ & n \text{ prend la valeur } 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ \text{Sortie} : &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$ La version allégée à partir de 2018: $$\begin{array}{|l|}\hline& u\leftarrow 0,3 \\ & n \leftarrow 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$

PartieB

Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} v_{10} &=&0,032\\ v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n \geqslant 10$,\: $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
2. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
3. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction ?

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes.
On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} u_0 &=&0,3\\ u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
$u_1=0,9\times 0,3(1-0,3)=0,189$
$u_2=0,9\times 0,189(1-0,189)\approx 0,138$
Au début de l’année 2001 il y avait donc $189$ tortues et $138$ au début de l’année 2002.
$\quad$
2. On admet que, pour tout entier naturel $n\:$, $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle $[0~;~1]$.
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n\:$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on sait que $u_n \geq 0$.
   De plus :
   $u_{n+1}-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n\right)-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n-1\right)=-0,9{u_n}^2\leq 0$
   Par conséquent $0\leq u_{n+1} \leq 0,9u_n$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
   Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=0,3$ et $0,3 \times 0,9^0=0,3$ ainsi $0 \leq u_0 \leq 0,3 \times 0,9^0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $ 0\leq u_n \leq 0,3 \times 0,9^n$
   Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0 \leq u_{n+1} \leq 0,3\times 0,9^{n+1}$
   On sait que $0 \leq u_{n+1} \leq 0,9u_n \leq 0,3 \times 0,9^n \times 0,9$
   Soit $0 \leq u_{n+1} \leq 0,3\times 0,9^{n+1} $
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \leq u_n \leq 0,3 \times 0,9^n$.
   $\quad$
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
3. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction. On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence. $$\begin{array}{|l c|}\hline \text{Variables} : & u \text{ est un réel}\\ & n \text{ est un entier naturel}\\ \textbf{Traitement} : & u \text{ prend la valeur } 0,3 \\ & n \text{ prend la valeur } 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ \text{Sortie} : &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$ La version allégée à partir de 2018: $$\begin{array}{|l|}\hline& u\leftarrow 0,3 \\ & n \leftarrow 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$
Variables :
$\quad$ $u$ est un réel
$\quad$ $n$ est un entier naturel
Traitement :
$\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ Tant que $u \geq 0,03$ faire
$\qquad$ $u$ prend la valeur $0,9u(1-u)$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $1999+n$
$\quad$

PartieB

Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} v_{10} &=&0,032\\ v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n \geqslant 10$,\: $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
$v_{11}=1,06\times 0,032(1-0,032) \approx 0,033$
$v_{12}=1,06\times 0,033(1-0,033) \approx 0,034$
Il y a donc $33$ tortues au début de l’année 2011 et $34$ au début de l’année 2012.
$\quad$
2. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n =\ell$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n+1} =\ell$
De plus $\lim\limits_{n \to +\infty}1,06v_n\left(1-v_n\right)=1,06\ell(1-\ell)$.
Par conséquent $\ell$ vérifie $\ell=1,06\ell(1-\ell)$.
$\quad$
3. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction ?
$\ell=1,06\ell(1-\ell) \iff 1,06\ell(1-\ell)-\ell =0\iff \ell(0,06-1,06\ell)=0$
$\iff \ell=0$ ou $0,06-1,06\ell=0$
$\iff \ell=0$ ou $\ell=\dfrac{3}{53}$
La suite $\left(v_n\right)$ étant croissante et convergente sa limite est $\ell=\dfrac{3}{53}>0,03$.
L’espèce n’est plus menacée d’extinction.
$\quad$

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_n = \displaystyle\int_0^n \text{e}^{ - x^2}\:\text{d}x.\] On ne cherchera pas à calculer $u_n$ en fonction de $n$.

1. 1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   2. Démontrer que pour tout réel $x \geqslant 0$, on a : $- x^2 \leqslant - 2x + 1$, puis : $\text{e}^{- x^2} \leqslant \text{e}^{-2x+1}$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n < \dfrac{\text{e}}{2}$.
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite.
2. Dans cette question, on se propose d'obtenir une valeur approchée de $u_2$. Dans le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~ \vec{\jmath}\right)$ ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = \text{e}^{- x^2}$, et le rectangle OABC où A$(2~;~0)$, B$(2~;~1)$ et C$(0~;~1)$. On a hachuré le domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
   
   On considère l'expérience aléatoire consistant à choisir un point $M$ au hasard à l'intérieur du rectangle OABC. On admet que la probabilité $p$ que ce point appartienne au domaine est : $p = \dfrac{\text{aire de } \mathcal{D}}{\text{aire de OABC}}$.
   1. Justifier que $u_2 = 2p$.
   2. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|l|}\hline L1 & \text{Variables} : N,\: C \text{ nombres entiers} ; X,\: Y,\: F \text{ nombres réels}\\ L2 & \text{Entrée} : \text{ Saisir } N \\ L3 &\text{Initialisation} : C \text{ prend la valeur } 0 \\ L4 &\text{Traitement} : \\ L5 & \text{Pour } k \text{ variant de 1 à } N \\ L6 &\quad X \text{ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 2 } \\ L7 &\quad Y \text{ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 1 }\\ L8 &\quad \text{ Si } Y \leqslant \text{e}^{- x^2} \text{ alors }\\ L9 &\quad \quad \quad C \text{ prend la valeur } C+ 1 \\ L10 &\quad \text{ Fin si } \\ L11 & \text{Fin pour }\\ L12 & \text{Afficher }C \\ L13 & F \text{ prend la valeur } C/N \\ L14 & \text{Afficher } F \\ \hline \end{array} $$
      1. Que permet de tester la condition de la ligne L8 concernant la position du point $M(X~;~ Y)$ ?
      2. Interpréter la valeur $F$ affichée par cet algorithme.
      3. Que peut-on conjecturer sur la valeur de $F$ lorsque $N$ devient très grand ?
   3. En faisant fonctionner cet algorithme pour $N = 10^6$, on obtient $C = 441\;138$. On admet dans ce cas que la valeur $F$ affichée par l'algorithme est une valeur approchée de la probabilité $p$ à $10^{-3}$ près. En déduire une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-2}$ près.

Partie B

Une entreprise spécialisée est chargée par l'office de tourisme d'une station de ski de la conception d'un panneau publicitaire ayant la forme d'une piste de ski. Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Le panneau, modélisé par le domaine $\mathcal{D}$ défini dans la partie A, est découpé dans une plaque rectangulaire de 2 mètres sur 1 mètre. Il est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ ; l'unité choisie est le mètre.
Pour $x$ nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~2]$, on note :

• $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $\left(x~;~\text{e}^{-x^2}\right)$,
• $N$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
• $P$ le point de coordonnées $\left(0~;~\text{e}^{-x^2}\right)$,
• $A(x)$ l'aire du rectangle O$NMP$.

1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~2], on a: $A(x) = x\text{e}^{- x^2}$.
2. Déterminer la position du point $M$ sur la courbe $\mathcal{C}_f$ pour laquelle l'aire du rectangle O$NMP$ est maximale.
3. Le rectangle O$NMP$ d'aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu, et le reste du panneau en blanc. Déterminer, en m$^2$ et à $10^{-2}$ près, la mesure de la surface à peindre en bleu et celle de la surface à peindre en blanc.

Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_n = \displaystyle\int_0^n \text{e}^{ - x^2}\:\text{d}x.\] On ne cherchera pas à calculer $u_n$ en fonction de $n$.

1. 1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   Soit $n$ un entier naturel.
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\int_0^{n+1} \text{e}^{-x^2}\text{d}x-\int_0^n \text{e}^{-x^2}\text{d}x \\
   &=\int_n^{n+1} \text{e}^{-x^2}\text{d}x
   \end{align*}$
   La fonction $x \mapsto \text{e}^{-x^2}$ est continue et positive sur l’intervalle $[n;n+1]$.
   Par conséquent $\displaystyle \int_n^{n+1} \text{e}^{-x^2}\text{d}x \geq 0$
   Ainsi $u_{n+1}-u_n \geq 0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que pour tout réel $x \geqslant 0$, on a : $- x^2 \leqslant - 2x + 1$, puis : $\text{e}^{- x^2} \leqslant \text{e}^{-2x+1}$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n < \dfrac{\text{e}}{2}$.
   $\begin{align*}(x-1)^2 \geq 0 &\iff x^2-2x+1 \geq 0\\
   &\iff -2x+1\geq -x^2 \\
   &\iff -x^2 \leq -2x+1
   \end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
   Par conséquent $\text{e}^{-x^2} \leq \text{e}^{-2x+1}$.
   On en déduit donc que :
   $\begin{align*}
   u_n&=\int_0^n \text{e}^{-x^2}\text{d}x \\
   &\leq \int_0^n \text{e}^{-2x+1}\text{d}x \\
   &\leq \left[-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x+1}\right]_0^n \\
   &\leq -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2n+1}+\dfrac{1}{2}\text{e} \\
   &\leq \dfrac{\text{e}}{2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée; elle converge.
   $\quad$
2. Dans cette question, on se propose d'obtenir une valeur approchée de $u_2$. Dans le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~ \vec{\jmath}\right)$ ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = \text{e}^{- x^2}$, et le rectangle OABC où A$(2~;~0)$, B$(2~;~1)$ et C$(0~;~1)$. On a hachuré le domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
   
   On considère l'expérience aléatoire consistant à choisir un point $M$ au hasard à l'intérieur du rectangle OABC. On admet que la probabilité $p$ que ce point appartienne au domaine est : $p = \dfrac{\text{aire de } \mathcal{D}}{\text{aire de OABC}}$.
   1. Justifier que $u_2 = 2p$.
   On a $p=\dfrac{\text{Aire de }\mathcal{D}}{\text{Aire de }OABC}$
   $\iff p=\dfrac{u_2}{2\times 1}$
   $\iff 2p=u_2$
   $\quad$
   
   2. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|l|}\hline L1 & \text{Variables} : N,\: C \text{ nombres entiers} ; X,\: Y,\: F \text{ nombres réels}\\ L2 & \text{Entrée} : \text{ Saisir } N \\ L3 &\text{Initialisation} : C \text{ prend la valeur } 0 \\ L4 &\text{Traitement} : \\ L5 & \text{Pour } k \text{ variant de 1 à } N \\ L6 &\quad X \text{ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 2 } \\ L7 &\quad Y \text{ prend la valeur d'un nombre aléatoire entre 0 et 1 }\\ L8 &\quad \text{ Si } Y \leqslant \text{e}^{- x^2} \text{ alors }\\ L9 &\quad \quad \quad C \text{ prend la valeur } C+ 1 \\ L10 &\quad \text{ Fin si } \\ L11 & \text{Fin pour }\\ L12 & \text{Afficher }C \\ L13 & F \text{ prend la valeur } C/N \\ L14 & \text{Afficher } F \\ \hline \end{array} $$
      1. Que permet de tester la condition de la ligne L8 concernant la position du point $M(X~;~ Y)$ ?
      La ligne L8 permet de savoir si le point $M(X;Y)$ appartient au domaine $\mathcal{D}$
      $\quad$
      
      2. Interpréter la valeur $F$ affichée par cet algorithme.
      La valeur $F$ correspond à la fréquence des points appartenant au domaine $\mathcal{D}$ sur $N$ tirages aléatoires.
      $\quad$
      
      3. Que peut-on conjecturer sur la valeur de $F$ lorsque $N$ devient très grand ?
      On peut donc conjecturer que $F$ va tendre vers $p$ lorsque $N$ devient très grand.
      $\quad$
   3. En faisant fonctionner cet algorithme pour $N = 10^6$, on obtient $C = 441\;138$. On admet dans ce cas que la valeur $F$ affichée par l'algorithme est une valeur approchée de la probabilité $p$ à $10^{-3}$ près. En déduire une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-2}$ près.
   On a donc $p\approx \dfrac{441~138}{10^6}$ et $u_2 \approx 2\times \dfrac{441~138}{10^6}$
   Soit $u_2\approx 0,88$

Partie B

Une entreprise spécialisée est chargée par l'office de tourisme d'une station de ski de la conception d'un panneau publicitaire ayant la forme d'une piste de ski. Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Le panneau, modélisé par le domaine $\mathcal{D}$ défini dans la partie A, est découpé dans une plaque rectangulaire de 2 mètres sur 1 mètre. Il est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ ; l'unité choisie est le mètre.
Pour $x$ nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~2]$, on note :

• $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $\left(x~;~\text{e}^{-x^2}\right)$,
• $N$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
• $P$ le point de coordonnées $\left(0~;~\text{e}^{-x^2}\right)$,
• $A(x)$ l'aire du rectangle O$NMP$.

1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~2], on a: $A(x) = x\text{e}^{- x^2}$.
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;2]$ on a :
$A(x)=ON \times OP = x \times \text{e}^{-x^2}$
$\quad$
2. Déterminer la position du point $M$ sur la courbe $\mathcal{C}_f$ pour laquelle l'aire du rectangle O$NMP$ est maximale.
La fonction $A$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} A'(x)&=\text{e}^{-x^2}-x\times 2x\text{e}^{-x^2} \\
&\left(1-2x^2\right)e^{-x^2}
\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $A'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x^2$.
Sur l’intervalle $[0;2]$ :
$\begin{align*} 1-2x^2 > 0 &\iff 1>2x^2 \\
&\iff \dfrac{1}{2}>x^2 \\
&\iff \dfrac{1}{\sqrt{2}} > x >0 \\
&\iff \dfrac{\sqrt{2}}{2}>x>0
\end{align*}$
La fonction $A$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};2\right]$.
L’aire du rectangle $ONMP$ est donc maximale quand $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Le rectangle O$NMP$ d'aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu, et le reste du panneau en blanc. Déterminer, en m$^2$ et à $10^{-2}$ près, la mesure de la surface à peindre en bleu et celle de la surface à peindre en blanc.
L’aire de la partie peinte en bleue est donc $A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 0,43$ m$^2$.
L’aire de la partie blanche est donc $u_2-A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 0,88-0,43$ soit environ $0,45$ m$^2$.

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe \[z’ = - z^2 + 2z.\] Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

1. Résoudre dans l'ensemble $ \mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : \[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2.
2. Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$.
   1. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
   2. Sur la figure donnée en fin d'exercice, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. Construire sur cette figure les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
   3. Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ?
      La page contenant l'annexe est à rendre avec la copie
      

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe \[z’ = - z^2 + 2z.\] Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

1. Résoudre dans l'ensemble $ \mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : \[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2.
On considère l’équation $-z^2+2z-2=0$.
Son discriminant est $\Delta = 2^2-4\times (-1) \times (-2) = -4<0$
Cette équation possède donc deux racines complexes:
$z_1=\dfrac{-2-\sqrt{4}\text{i}}{-2}=1+\text{i}$ et $z_2=\overline{z_1}=1-\text{i}$
Les points dont l’image est le point d’affixe $2$ vérifie $z’=2 \iff -z^2+2z-2=0$.
Ce sont donc les points d’affixe $1-\text{i}$ et $1+\text{i}$.
$\quad$
2. Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
On appelle $P$ le milieu du segment $\left[NM’\right]$.
Son affixe est :
$\begin{align*} z_P&=\dfrac{z_n+z_{M’}}{2} \\
&=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2} \\
&=z
\end{align*}$
Par conséquent $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$
$\quad$
3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$.
   1. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
   Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Par conséquent $|z|=1$ et arg$(z)=\theta$.
   $z_N=z^2=1^2\times \text{e}^{2\text{i} \theta}=\text{e}^{2\text{i}\theta}$
   Ainsi $\left|z_N\right|=1$ et arg$\left(z_N\right)=2\theta$.
   $\quad$
   
   2. Sur la figure donnée en fin d'exercice, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. Construire sur cette figure les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
   
   3. Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ?
   
   Le point $N$ appartient au cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.
   $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$. Ainsi $MN=MM’$.
   Donc $MA=MM’$.
   Le triangle $AMM’$ est par conséquent isocèle en $M$.

Commun à tous les candidats

Exercice 3 5 points

Probabilités

Tous les résultats demandés seront arrondis au millième.

1. Une étude effectuée sur une population d'hommes âgés de 35 à 40 ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1,84$ et d'écart type $\sigma = 0,4$.
   1. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre $1,04$g /L et $2,64$ g/L.
   2. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à $1,2$ g/L.
2. Afin de tester l'efficacité d'un médicament contre le cholestérol, des patients nécessitant d'être traités ont accepté de participer à un essai clinique organisé par un laboratoire. Dans cet essai, 60 % des patients ont pris le médicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprimé neutre). On étudie la baisse du taux de cholestérol après l'expérimentation. On constate une baisse de ce taux chez 80 % des patients ayant pris le médicament. On ne constate aucune baisse pour 90 % des personnes ayant pris le placebo. On choisit au hasard un patient ayant participé à l'expérimentation et on note :
   • $M$ l'évènement « le patient a pris le médicament» ;
   • $B$ l'évènement « le taux de cholestérol a baissé chez le patient ».
   1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
   2. Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
   3. Calculer la probabilité qu'un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé.
3. Le laboratoire qui produit ce médicament annonce que 30 % des patients qui l'utilisent présentent des effets secondaires. Afin de tester cette hypothèse, un cardiologue sélectionne de manière aléatoire $100$ patients traités avec ce médicament.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires.
   2. L'étude réalisée auprès des $100$ patients a dénombré $37$  personnes présentant des effets secondaires. Que peut-on en conclure ?
   3. Pour estimer la proportion d'utilisateurs de ce médicament présentant des effets secondaires, un organisme indépendant réalise une étude basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 %. Cette étude aboutit à une fréquence observée de 37 % de patients présentant des effets secondaires, et à un intervalle de confiance qui ne contient pas la fréquence 30 %. Quel est l'effectif minimal de l'échantillon de cette étude ?

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Probabilités

Tous les résultats demandés seront arrondis au millième.

1. Une étude effectuée sur une population d'hommes âgés de 35 à 40 ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1,84$ et d'écart type $\sigma = 0,4$.
   1. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre $1,04$g /L et $2,64$ g/L.
   On veut calculer $P(1,04 \leq p T \leq 2,64) = P(\mu-2\sigma \leq T \leq \mu +2\sigma) \approx 0,954$
   $\quad$
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   2. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu'un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à $1,2$ g/L.
   $P(T \geq 1,2)=0,5+P(1,2 \leq p T \leq p 1,84) \approx 0,945$
   

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2. Afin de tester l'efficacité d'un médicament contre le cholestérol, des patients nécessitant d'être traités ont accepté de participer à un essai clinique organisé par un laboratoire. Dans cet essai, 60 % des patients ont pris le médicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprimé neutre). On étudie la baisse du taux de cholestérol après l'expérimentation. On constate une baisse de ce taux chez 80 % des patients ayant pris le médicament. On ne constate aucune baisse pour 90 % des personnes ayant pris le placebo. On choisit au hasard un patient ayant participé à l'expérimentation et on note :
   • $M$ l'évènement « le patient a pris le médicament» ;
   • $B$ l'évènement « le taux de cholestérol a baissé chez le patient ».
   1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
   
   2. Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(B)&=p(M\cap B)+p\left(\overline{M}\cap B\right) \\
   &=0,6\times 0,8+0,4\times 0,1 \\
   &=0,52
   \end{align*}$
   
   3. Calculer la probabilité qu'un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} p_B(M)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(B)} \\
   &=\dfrac{0,6\times 0,8}{0,52} \\
   &=\dfrac{12}{13} \\
   &\approx 0,923
   \end{align*}$
3. Le laboratoire qui produit ce médicament annonce que 30 % des patients qui l'utilisent présentent des effets secondaires. Afin de tester cette hypothèse, un cardiologue sélectionne de manière aléatoire $100$ patients traités avec ce médicament.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires.

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   $\begin{align*} I_{100}&\approx [0,210;0,390]
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. L'étude réalisée auprès des $100$ patients a dénombré $37$  personnes présentant des effets secondaires. Que peut-on en conclure ?
   La fréquence observée est $f=0,37\in I_{100}$
   Au risque d’erreur de $5\%$, on ne peut pas rejeter l’annonce du laboratoire.
   
   3. Pour estimer la proportion d'utilisateurs de ce médicament présentant des effets secondaires, un organisme indépendant réalise une étude basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 %. Cette étude aboutit à une fréquence observée de 37 % de patients présentant des effets secondaires, et à un intervalle de confiance qui ne contient pas la fréquence 30 %. Quel est l'effectif minimal de l'échantillon de cette étude ?
   Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
   On sait que $0,37$ appartient à cet intervalle mais pas $0,30$.
   Par conséquent, on cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} 0,3 < 0,37-\dfrac{1}{\sqrt{n}}&\iff -0,07 < -\dfrac{1}{\sqrt{n}} \\
   &\iff \sqrt{n} > \dfrac{1}{0,07} \\
   &\iff n > \dfrac{1}{0,07^2} \\
   &\iff n \geq 205
   \end{align*}$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB]. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points I et J.
2. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}1\\- 2\\\phantom{-}2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGI).
   2. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
   3. On note K le milieu du segment [Hl]. Le point K appartient-il au plan (BGI) ?
3. Le but de cette question est de calculer l'aire du triangle BGI.
   1. En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le volume du tétraèdre FBIG est égal à $\dfrac{1}{6}$.
      On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule 
      $V = \dfrac{1}{3} B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.
   2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par F et orthogonale au plan (BGI).
   3. La droite $\Delta$ coupe le plan (BGI) en F$'$. Montrer que le point F$'$ a pour coordonnées $\left(\frac{7}{9}~;~\frac{4}{9}~;~\frac{5}{9}\right)$.
   4. Calculer la longueur FF$'$. En déduire l'aire du triangle BGI.

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB]. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points I et J.
On a $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $F(1;0;1)$.
$I$ est le milieu du segment $[EH]$ donc $I\left(\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2};\dfrac{1+1}{2}\right)$ soit $I(0;0,5;1)$.
$J$ est le milieu du segment $[FN]$ donc $J\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2}\right)$ soit $J(1;0;0,5)$.

2. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}1\\- 2\\\phantom{-}2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGI).
   On a $\vec{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{BI}\begin{pmatrix}-1\\0,5\\1\end{pmatrix}$.
   Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
   Par conséquent :
   $\vec{n}.\vec{BG}=0-2+2=0$ et $\vec{n}.\vec{BI}=-1-1+2=0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGI)$.
   C’est donc un vecteur normal au plan $(BGI)$.
   $\quad$
   
   2. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
   Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est alors de la forme :
   $$x-2y+2z+d=0$$
   Le point $B(1;0;0)$ appartient à ce plan.
   Donc $1-0+0+d=0 \iff d=-1$.
   Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est donc $x-2y+2z-1=0$.
   $\quad$
   
   3. On note K le milieu du segment [Hl]. Le point K appartient-il au plan (BGI) ?
$K$ est le milieu du segment $[HJ]$.
Donc $K\left(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{1+0,5}{2}\right)$ soit $K(0,5;0,5;0,75)$.
Regardons si les coordonnées de ce point vérifie l’équation du plan $(BGI)$ trouvée à la question précédente.
$0,5-2\times 0,5+2\times 0,75-1=0,5-1+1,5-1=0$.
Donc $K$ appartient au plan $(BGI)$.
$\quad$
3. Le but de cette question est de calculer l'aire du triangle BGI.
   1. En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le volume du tétraèdre FBIG est égal à $\dfrac{1}{6}$.
      On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule 
      $V = \dfrac{1}{3} B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.
   Le triangle $FIG$ est isocèle en $I$. Donc en appelant $I’$ le milieu du segment $[FG]$ l’aire de ce triangle est :
   $\mathscr{A}=\dfrac{II’\times FG}{2}=\dfrac{1\times 1}{2}=0,5$.
   Ainsi le volume du tétraèdre $FBIG$ est $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times FB}{3}=\dfrac{0,5\times 1}{3}=\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par F et orthogonale au plan (BGI).
   La droite $\Delta$ passe par le point $F(1;0;1)$ est est dirigée par le vecteur $\vec{n}$.
   Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
   $\begin{cases} x=1+t\\y=-2t\\z=1+2t\end{cases} \quad, t\in \mathbb{R}$
   $\quad$
   
   3. La droite $\Delta$ coupe le plan (BGI) en F$'$. Montrer que le point F$'$ a pour coordonnées $\left(\frac{7}{9}~;~\frac{4}{9}~;~\frac{5}{9}\right)$.
   Montrons que le points $F’\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ appartient à la fois à la droite $\Delta$ et à au plan $(BGI)$.
   Dans la représentation paramétrique de $\Delta$, si on prend $t=-\dfrac{2}{9}$ (solution de l’équation $-2t=\dfrac{4}{9}$ par exemple)alors on obtient :
   $\begin{cases} x=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}\\y=-2\times \left(-\dfrac{2}{9}\right)=\dfrac{4}{9}\\z=1-2\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{9}\end{cases}$
   Donc $F’\in \Delta$.
   $\dfrac{7}{9}-2\times \dfrac{4}{9}+2\times \dfrac{5}{9}-1=\dfrac{7}{9}-\dfrac{8}{9}+\dfrac{10}{9}-\dfrac{9}{9}=0$
   Donc $F’\in (BGI)$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et un vecteur normal au plan $(BGI)$: la droite et plan sont donc sécants.
   Le point $F’$ appartient à chacun d’entre eux. C’est donc leur point d’intersection.
   $\quad$
   
   4. Calculer la longueur FF$'$. En déduire l'aire du triangle BGI.
   $FF’=\sqrt{\left(1-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(0-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(1-\dfrac{5}{9}\right)^2}=\dfrac{2}{3}$.
   Le volume du tétraèdre $FBIG$ est :
   $\mathscr{V}=\dfrac{1}{6}\iff \dfrac{FF’\times \text{aire }_{BGI}}{3}=\dfrac{1}{6}$
   Par conséquent l’aire du triangle $BGI$ est $\mathscr{A}’=\dfrac{\dfrac{1}{6}\times 3}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}$.

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$, on considère les points A$(1~;~5~;~- 2)$, B$(7~;~- 1~;~3)$ et C$(- 2~;~7~;~-2)$ et on note $P$ le plan (ABC). On cherche une équation cartésienne du plan $P$ sous la forme : $ax + by + cz = 73$, où $a,\: b$ et $c$ sont des nombres réels. On note $X$ et $Y$ les matrices colonnes : $X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $X$ vérifie la relation : $MX = 73Y$, où $M$ est la matrice $M = \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}$.
2. Soit $N$ la matrice : $N = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix}$. À l'aide d'une calculatrice, on a calculé les produits $M \times N$ et $N \times M$, et on a obtenu les copies d'écran suivantes : $$ \begin{array}{cc} \text{Pour } M \times N : & \text{Pour }N \times M : \\ \begin{array}{|r| r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}&\begin{array}{|r |r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}\\ \end{array} $$ À l'aide de ces informations, justifier que la matrice $M$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $M^{-1}$ en fonction de la matrice $N$.
3. Montrer alors que : $X = NY$. En déduire que le plan $P$ admet pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$.

Partie B

L'objectif de cette partie est l'étude des points à coordonnées entières du plan $P$ ayant pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$.

1. Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$. On suppose que les coordonnées $x$, $y$ et $z$ appartiennent à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs.
   1. Montrer que les entiers $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $(E)$ : $2x + 3y = 11$.
   2. Justifier que le couple $(7~;~- 1)$ est une solution particulière de $(E)$ puis résoudre l'équation $(E)$ pour $x$ et $y$ appartenant à $\mathbb{Z}$.
   3. Montrer qu'il existe exactement deux points appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$ et dont les coordonnées appartiennent à l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points $M(x~;~y~;~z)$ du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Soient $x$, $y$ et $z$ des entiers naturels tels que $10x + 15y + 6z = 73$.
   1. Montrer que $y$ est impair.
   2. Montrer que: $x \equiv 1 \quad[3]$. On admet que : $z \equiv 3 \quad[5]$.
   3. On pose alors : $x = 1 + 3p$, $y= 1 + 2q$ et $z = 3 + 5r$, où $p$, $q$ et $r$ sont des entiers naturels. Montrer que le point $M(x~;~y;~z)$ appartient au plan $P$ si et seulement si $p + q + r = 1$.
   4. En déduire qu'il existe exactement trois points du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$, on considère les points A$(1~;~5~;~- 2)$, B$(7~;~- 1~;~3)$ et C$(- 2~;~7~;~-2)$ et on note $P$ le plan (ABC). On cherche une équation cartésienne du plan $P$ sous la forme : $ax + by + cz = 73$, où $a,\: b$ et $c$ sont des nombres réels. On note $X$ et $Y$ les matrices colonnes : $X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $X$ vérifie la relation : $MX = 73Y$, où $M$ est la matrice $M = \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}$.
Le point $A(1;5;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $a+5b-2c=73$.
Le point $B(7;-1;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $7a-b+3c=73$.
Le point $C(-2;7;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $-2a+7b-2c=73$.
On obtient ainsi le système suivant :
$\begin{cases} a+5b-2c=73\\7a-b+3c=73\\-2a+7b-2c=73\end{cases}$
Par conséquent $X$ vérifie bien la relation $MX=73Y$.

2. Soit $N$ la matrice : $N = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix}$. À l'aide d'une calculatrice, on a calculé les produits $M \times N$ et $N \times M$, et on a obtenu les copies d'écran suivantes : $$ \begin{array}{cc} \text{Pour } M \times N : & \text{Pour }N \times M : \\ \begin{array}{|r| r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}&\begin{array}{|r |r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}\\ \end{array} $$ À l'aide de ces informations, justifier que la matrice $M$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $M^{-1}$ en fonction de la matrice $N$.
On note $I_3$ la matrice identité d’ordre $3$.
On a donc d’après ces copies d’écran $M\times N=N \times N=73 I_3$
Par conséquent $M^{-1}=\dfrac{1}{73}N$.

3. Montrer alors que : $X = NY$. En déduire que le plan $P$ admet pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$.
$MX=73Y \iff X=73M^{-1}Y\iff X=NY$
Ainsi $X=\begin{pmatrix}19&4&-13\\-8&6&17\\-47&17&36\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\15\\6\end{pmatrix}$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $10x+15y+6z=73$.

Partie B

L'objectif de cette partie est l'étude des points à coordonnées entières du plan $P$ ayant pour équation cartésienne : $10x + 15y + 6z = 73$.

1. Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$. On suppose que les coordonnées $x$, $y$ et $z$ appartiennent à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs.
   1. Montrer que les entiers $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $(E)$ : $2x + 3y = 11$.
   On sait donc que $M(x;y;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
   Ainsi $10x+15y+18=73 \iff 10x+15y=55\iff 2x+3y=11$.
   $\quad$
   
   2. Justifier que le couple $(7~;~- 1)$ est une solution particulière de $(E)$ puis résoudre l'équation $(E)$ pour $x$ et $y$ appartenant à $\mathbb{Z}$.
   $2\times 7+3\times (-1)=14-3=11$.
   Par conséquent $(7;-1)$ est une solution particulière de $(E)$.
   On appelle $(x;y)$ une solution de $(E)$ : $2x+3y=11$
   Par différence on obtient :
   $2(7-x)+3(-1-y)=0$
   $\iff 2(7-x)=3(1+y)$
   $2$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1+y=2k$ et $7-x=3k$.
   Soit $y=2k-1$ et $x=7-3k$.
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$ et le couple $(7-3k;2k-1)$.
   $2(7-3k)+3(2k-1)=14-6k+6k-3=11$.
   Le couple $(7-3k;2k-1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   Les solution de $(E)$ dans $\mathbb{Z}$ sont donc les couples $(7-3k;2k-1)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$
   
   3. Montrer qu'il existe exactement deux points appartenant au plan $P$ et au plan d'équation $z = 3$ et dont les coordonnées appartiennent à l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
   On cherche les entiers relatifs $k$ qui vérifient :
   $\begin{cases} 7-3k\geq 0 \\2k-1 \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 7\geq 3k \\2k \geq 1 \end{cases} \iff \dfrac{1}{2} \leq p k \leq p \dfrac{7}{3}$.
   Par conséquent $k=1$ ou $k=2$.
   Si $k=1$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(4;1;3)$.
   Si $k=2$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(1;3;3)$.
2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points $M(x~;~y~;~z)$ du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Soient $x$, $y$ et $z$ des entiers naturels tels que $10x + 15y + 6z = 73$.
   1. Montrer que $y$ est impair.
   Soit $(x;y;z)$ une solution de l’équation $(E)$.
   $10x+15y+6z=73 \iff 15y=73-10x-6z$
   Si $y$ est pair alors $15y \equiv 0~~[2]$
   et $73-10x-6z \equiv 1~~[2]$.
   Ainsi $y$ ne peut pas être pair. $y$ est donc pair.
   $\quad$
   
   2. Montrer que: $x \equiv 1 \quad[3]$. On admet que : $z \equiv 3 \quad[5]$.
   On a $10x=73-15y-6z$.
   On a $10\equiv 1~~[3]$ et $73-15y-6z\equiv 1~~[3]$.
   Par conséquent $x\equiv 1~~[3]$.
   $\quad$
   
   3. On pose alors : $x = 1 + 3p$, $y= 1 + 2q$ et $z = 3 + 5r$, où $p$, $q$ et $r$ sont des entiers naturels. Montrer que le point $M(x~;~y;~z)$ appartient au plan $P$ si et seulement si $p + q + r = 1$.
   
   $\begin{align*} M(x;y;z)\in \mathcal{P}&\iff 10(1+3p)+15(1+2q)+6(3+5r)=73 \\
   &\iff 10+30p+15+30q+18+30r=73 \\
   &\iff 30p+30q+30r=30 \\
   &\iff p+q+r=1
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   4. En déduire qu'il existe exactement trois points du plan $P$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
   D’après les questions B.2.a et B.2.b on sait que $y\equiv 0~~[2]$, $x\equiv 1~~[3]$ et $z\equiv 3~~[5]$.
   Donc il existe trois entiers naturels $p,q$ et $r$ tels que $x=1+3p$, $y=1+2q$ et $z=3+5r$.
   On sait que $p+q+r=1$.
   Par conséquent :
   $\bullet$ $p=1$ et $q=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(4;1;3)$.
   $\bullet$ $q=1$ et $p=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;3;3)$.
   $\bullet$ $R=1$ et $p=q=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;1;8)$.
   Les coordonnées des points du plan $\mathscr{P}$ à coordonnées entières sont donc $(4;1;3)$, $(1;3;3)$ et $(1;1;8)$.

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les parties A,B et C sont indépendantes.
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10. La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$. Pour une journée donnée, on note :

• $E$ l'évènement « La journée est ensoleillée » ;
• $V$ l'évènement« Romane se déplace en vélo ».

1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est \[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
3. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
   1. Calculer la valeur de $p$.
   2. Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute. Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

1. On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous. Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
   
2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif. La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

1. Soit $b$ un réel positif. Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]
2. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.
   1. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
   2. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$ heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$ heures.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A,B et C sont indépendantes.
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10. La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$. Pour une journée donnée, on note :

• $E$ l'évènement « La journée est ensoleillée » ;
• $V$ l'évènement« Romane se déplace en vélo ».

1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.

2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est \[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(V)&=P(E\cap V)+P\left(\overline{E}\cap V\right) \\
&=0,9p+0,6(1-p)\\
&=0,3p+0,6
\end{align*}$

3. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
   1. Calculer la valeur de $p$.
   On résout l’équation $0,3p+0,6=0,675 \iff 0,3p=0,075 \iff p = 0,25$
   $\quad$
   
   2. Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P_V(E)&=\dfrac{P(E\cap V)}{P(V)} \\
   &=\dfrac{0,25 \times 0,9}{0,675} \\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute. Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

1. On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous. Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
   
L’écart-type le plus petit fournit la courbe dont le maximum est le plus grand.
La droite d’équation $x=\mu$ est l’axe de symétrie pour chacune des courbes.
Donc $\mu_V= 14$ et $\mu_C=16$.

2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
On calculer $P\left(10 \leqslant T_V \leqslant 15\right) \approx 0,8413$

3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?
$\mu_V<15<\mu_C$ donc $P\left(T_V\leqslant 15\right) > 0,5$ et $P\left(T_C\leqslant 15\right) <0,5$
Romane doit donc privilégier les trajets en vélo.
$\quad$

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif. La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

1. Soit $b$ un réel positif. Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]
$$\begin{array}{rl}P(X \leq b)&= \int_0^b f(t) dt \\ &=\int_0^b \lambda \text{e}^{-\lambda t} dt \\ &=\left[-\text{e}^{-\lambda t}\right]_0^b \\ &=-\text{e}^{-\lambda b}+1\\&=1-\text{e}^{-\lambda b} \end{array}$$
2. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.
   1. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
   On sait que :
   $\begin{align*} P(X \geq 50)=0,9 &\iff P(X \leqslant 50)=0,1 \\
   &\iff 1-\text{e}^{-50\lambda}=0,1 \\
   &\iff \text{e}^{-50\lambda}=0,9 \\
   &\iff -50\lambda =\ln 0,9 \\
   &\iff \lambda =-\dfrac{\ln 0,9}{50}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$ heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$ heures.
   On veut calculer $P_{X \geq 200}(X \geq 250)=P_{X \geq 200}(X \geq 200+50)=P(X \geq 50)=0,9$
   Car la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
   $\quad$

Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
On a, pour tout entier naturel $n$ :
$z_{n+2}=\dfrac{\text{i}}{3}z_{n+1}=\dfrac{\text{i}}{3}\times \dfrac{\text{i}}{3}z_n = -\dfrac{1}{9}z_n$
Par conséquent $\vec{OM_{n+2}}=-\dfrac{1}{9}\vec{OM_n}$.
Les points $O$, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont donc alignés.
$\quad$
2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.
Pour tout entier naturel $n$ on note :
$r_n=OM_n=\left|z_n\right|$
Ainsi :
$\begin{align*} r_{n+1}&=\left|\dfrac{\text{i}}{3}z_n\right| \\
&=\left|\dfrac{\text{i}}{3}\right|\times \left|z_n\right| \\
&\dfrac{1}{9} r_n
\end{align*}$
La suite $\left(r_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$ et de premier terme $r_0=100$.
$-1 < \dfrac{1}{9} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} r_n=0$.
D’après la définition de la limite d’une suite, on peut déduire que l’intervalle $[0;1[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, ce qui répond à la question. Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel $r_n<1$ c’est-à-dire à partir duquel tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
$\quad$
On peut également déterminer le rang $n_0$ à partir duquel tous les points sont situés dans le disque (mais ce n'était pas explicitement demandé dans l'exercice).
On cherche $n$ tel que $d_n< 1$.
La suite $\left( d_n\right) $ est géométrique de premier terme $d_0= 100$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$ donc, pour tout $n, d_n=q^n\times d_0= 100\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n$. On résout l’inéquation : $$\begin{array}{rll} d_n <1 iff="" 100="" left="" dfrac="" 1="" 3="" right="" n="" ln="" text="" car="" x="" mapsto="" est="" strictement="" croissante="" sur="" 0="" infty="" -n="" -2="" 10="" a="" -=""> \dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}& \end{array}$$ Or $\dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}\approx 4,2 $ donc les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1 à partir de $n=5$.

Exercice 3 5 points

Fonctions

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
3. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Par conséquent la courbe $\mathscr{C}$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
$\quad$
2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$.
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\ln(x)+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x^2} \\
&=\dfrac{-\ln(x)+1}{x^2}
\end{align*}$
$\quad$
3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)+1$.
$-\ln(x)+1=0 \iff \ln(x)=1 \iff x=\text{e}$
$-\ln(x)+1>0 \iff \ln(x)<1 \iff x<\text{e}$
Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;\text{e}]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\text{e};+\infty[$.
$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\begin{align*} u_0&=\int_1^2 \dfrac{1}{x}\ln(x) \text{d} x \\
&=\left[\dfrac{1}{2}\left(\ln(x)\right)^2\right]_1^2 \\
&=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2
\end{align*}$
Cela signifie donc que l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$ a une aire de $\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$ u.a.
$\quad$
2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
Par conséquent :
$0 \leq \ln(x) \leq \ln(2) \iff 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$.
$\quad$
3. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)$ est continue et positive sur l’intervalle $[1;2]$.
Donc, d’après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\begin{align*} 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)& \iff 0 \leq u_n \leq \int_0^n \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2) \text{d} x \\
&\iff 0 \leq u_n \leq \left[-\dfrac{\ln(2)}{n}\times \dfrac{1}{x^n}\right]_1^2 \\
&\iff 0 \leq u_n \leq -\dfrac{\ln(2)}{n}\left(\dfrac{1}{2^n}-1\right)\\
&\iff 0 \leq u_n \leq \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)
\end{align*}$
$\quad$
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$-1<\dfrac{1}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) = 0$.
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0$.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $ \mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

1. 1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
   2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
   3. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\]
   1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   2. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
3. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\] Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $ \mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

1. 1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
   $\vec{AB}(-1;0;-6)$ et $\vec{AC}(-3;1;-10)$. ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (une coordonnée nulle). Les points $A,B$ et $C$ définissent donc un plan.
   2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
   $\vec{n}.\vec{AB}=-6+0+6=0$ et $\vec{n}.\vec{AC}=-18+8+10=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
   
   3. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est normal à ce plan.
   Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $$6x+8y-z+d=0$$
   Le point $A(1;1;14)$ appartient à ce plan donc :
   $6+8-14+d=0 \iff d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $6x+8y-z=0$.
2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\]
   1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
   Regardons si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
   $\vec{u}.\vec{n}=12+8-4=16\neq 0$.
   La droite $\Delta$ n’est donc pas parallèle au plan $(ABC)$; ils sont donc sécants.
   $\quad$
3. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\] Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.
$M(x;y;z)$ un éventuel point d’intersection de l’ensemble $(E)$ avec le plan $(ABC)$.
Ses coordonnées sont donc solutions du système :
$\begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6x+8y-z=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+6t+8t+8-2t=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+12t+8=0\end{cases}$
On appelle $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=6t^3+12t+8$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynôme (donc continue sur $\mathbb{R}$).
$f'(t)=18t^2+12>0$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
De plus, d’après la limite des termes de plus haut degré on a :
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to -\infty} 6t^3=-\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to +\infty} 6t^3=+\infty$
Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0$ possède une unique solution sur $\mathbb{R}$.
Il existe donc un unique point $M$ qui appartient à la fois à l’ensemble $(E)$ et au plan $(ABC)$.
$\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
   1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   2. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]

Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

2. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
   1. Démontrer que $z_0$ est pair.
   2. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
   3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
3. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
   1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
   2. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
   3. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
   1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   $3(-p)+4p=-3p+4p=p$
   $\quad$
   Ainsi le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   2. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
   Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $3(-p)+4p=p$ et $3x+4y=p$
   Par différence :
   $3(-p-x)+4(p-y)=0$ soit $3(p+x)=4(p-y)$.
   $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Donc d’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que :
   $p+x=4k$ et $p-y=3k$ soit $x=4k-p$ et $y=p-3k$.
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
   $3(-p+4k)+4(p-3k)=-3p+12k+4p-12k=p$.
   $\quad$
   Donc l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.

Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

2. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
   1. Démontrer que $z_0$ est pair.
   On a donc $6x_0+8y_0-z_0=0 \iff z_0=6x_0+8y_0 \iff z_0=2(3x_0+4y_0)$.
   Donc $z_0$ est pair puisque $3x_0+4y_0$ est un entier .
   $\quad$
   
   2. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
   $6x_0+8y_0-2p=0 \iff 6x_0+8y_0=2p \iff 3x_0+4y_0=p$
   Donc $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $\quad$
   
   3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
   D’après la question 1.b. l’ensemble des points du plans $P$ à coordonnées entières sont les points de coordonnées $(-p+4k;p-3k;2p)$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.
   $\quad$
3. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
   1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
   On a donc :
   $\begin{cases} x’=31x+75y+180z\\y’=56x+41y-144z\\z’=28x-30y+29z\end{cases}$
   Par conséquent :
   $\begin{array} 6x’+8y’-z’&=6(31x+75y+180z)+8(56x+41y-144z)-(28x-30y+29z) \\
   &=186x+450y+1~080z+448x+328y-1~152z-28x+30y-29z \\
   &=606x+808y-101z\\
   &=101(6x+8y-z)
   \end{array}$
   
   2. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
   Si $M$ est un point du plan $P$ alors $6x+8y-z=0$.
   Par conséquent $101(6x+8y-z)=0$ et $M’$ est donc un point du plan $P$.
   $\quad$
   
   3. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.
   Une représentation paramétrique de $\Delta$ est alors $\begin{cases} x=6t\\y=8t\\z=-t\end{cases} \quad, t\in \mathbb{R}$.
   Supposons que le point $M$ appartienne à la droite $\Delta$. Il existe un réel $t$ tel que :
   $\begin{cases} x’=31\times 6t+75\times 8t-180t\\y’=56\times 6t+41\times 8t+144t\\z’=28\times 6t-30\times 8t-29t\end{cases}$
   soit $\begin{cases} x’=606t\\y’=808t\\z’=-101t\end{cases}$
   par conséquent $\begin{cases} x’=6\times 101t\\y’=8\times 101t\\z’=-101t\end{cases}$
   Le point $M’$ est un point de $\Delta$ de paramètre $101t$.
   $\quad$