Baccalauréat S Métropole 21 juin 2017 - Correction Spécialité

Page 10 sur 10: Correction Spécialité

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On appelle « triangle rectangle presque isocèle » , en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs $x$ et $x + 1$, et dont l 'hypoténuse a pour longueur $y$, où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier.

Si le triangle de côtés $x$, $x + 1$ et $y$, où $y$ est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI.

Partie A

 

1. Démontrer que le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI si, et seulement si, on a : \[y^2 = 2x^2 + 2x + 1\]
$(x;y)$ définit un TRPI
$\iff y^2=x^2+(x+1)^2$ d’après le théorème de Pythagore
$\iff y^2=x^2+x^2+2x+1 $
$\iff y^2=2x^2+2x+1$
$\quad$
2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple $(3~;~5)$.
Si $x=1$ alors $y^2=5$ mais $\sqrt{5}$ n’est pas un nombre entier.
Si $x=2$ alors $y^2=13$ mais $\sqrt{13}$ n’est pas un nombre entier.
Si $x=3$ alors $y^2=25$. Donc $y=5$.
Le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple $(3;5)$.
$\quad$
3. 1. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.
      • Méthode 1 : Si $n$ est pair alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$.
        Par conséquent
        $\begin{align*}n^2&= (2k)^2 \\
        &=4k^2\\
        &=2\times 2k^2
        \end{align*}$
        On en déduit donc que $n^2$ est également pair.
        Un nombre entier pair a donc nécessairement un carré pair.
        Cela signifie par conséquent que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.
        $\quad$
      • Méthode 2: on utilise la contraposée
        $$\mathcal{P}\Rightarrow \mathcal{Q} \iff \text{Non}\left( \mathcal{Q}\right) \Rightarrow\text{Non}\left( \mathcal{P}\right)$$ Ici , on suppose donc que $n$ est pair et on doit prouver que $n^2$ est pair.
        Or si $n$ est pair, alors $n\equiv 0\;[2]$ , d'où on déduit d'après la compatibilité des congruences avec les puissances : $n^2\equiv 0^2\;[2]$, soit $n^2\equiv 0 \;[2]$, ce qui prouve que $n^2$ est pair.
   2. Montrer que dans un couple d'entiers $(x~;~y)$ définissant un TRPI, le nombre $y$ est nécessairement impair.
   b. Si $(x;y)$ définit un TRPI alors $y^2=2x^2+2x+1$
   $2x^2+2x+1\equiv 1~~[2]$
   Donc $y^2$ est impair.
   D’après la question précédente, cela signifie donc que $y$ est impair.
   $\quad$
   3. Montrer que si le couple d'entiers naturels $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
   Si $(x;y)$ est un TRPI alors $y^2=2x^2+2x+1$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} -(2+2x)x+y\times y &= -(2+2x)x+y^2 \\
   &=-2x-2x^2+2x^2+2x+1=1
   \end{align*}$
   D’après le théorème de Bézout, les nombres $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
   $\quad$

 

Partie B

On note $A$ la matrice carrée : $A =\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$, et $B$ la matrice colonne : $B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels $x'$ et $y'$ par la relation : \[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B.\] Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.

1. Montrer que : $y'^2 - 2x'(x' + 1) = y^2 - 2x(x + 1)$.
On a :
$x’=3x+2y+1$ et $y’=4x+3y+2$
$\quad$
2. a.
   $\begin{align*} {y’}^2-2x’\left(x’+1\right)&=(4x+3y+2)^2-2(3x+2y+1)(3x+2y+1+1) \\
   &=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y\\
   &-(6x+4y+2)(3x+2y+2) \\
   &=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y\\
   &-\left(18x^2+12xy+12x+12xy+8y^2+8y+6x+4y+4\right) \\
   &=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y\\
   &-18x^2-24xy-18x-8y^2-12y-4 \\
   &=-2x^2+y^2-2x\\
   &=y^2-2x(x+1)
   \end{align*}$
3. En déduire que si le couple $(x~;~y)$ définit un TRPI, alors le couple $\left(x'~;~y'\right)$ définit également un TRPI. On considère les suites $\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ et $\left(y_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ d'entiers naturels, définies par $x_0 = 3$, $y_0 = 5$ et pour tout entier naturel n : $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}+B$. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_ny_n\right)$ définit un TRPI.
’après la question A.1. $(x;y)$ définit un TRPI si, et seulement si, $y^2=2x^2+2x+1$ soit $y^2-2x^2-2x=1$ ou encore $y^2-2x(x+1)=1$
Or ${y’}^2-2x’\left(x’+1\right)=y^2-2x(x+1)$
$(x;y)$ définit TRPI
$\iff y^2-2x(x+1)=1$
$\iff {y’}^2-2x’\left(x’+1\right)=1$
$\iff \left(x’;y’\right)$ définit un TRPI
$\quad$
4. Initialisation : au rang $0$, on sait que le couple $(3;5)$ définit un TRPI
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Initialisation : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\left(x_n;y_n\right)$ définit un TRPI.
   Alors $x_{n+1}=3x_n+2y_n+1$ et $y_{n+1}=4x_n+3y_n+2$
   D’après la question précédente, puisque $\left(x_n;y_n\right)$ définit un TRPI, alors $\left(x_{n+1};y_{n+1}\right)$ définit également un TRPI.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ $\left(x_n;y_n\right)$ définit un TRPI.
   $\quad$
5. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017 
En utilisant la relation matricielle on obtient successivement les couples suivant les couples suivants :
$(3;5)$ ; $(20;29)$ ; $(119;169)$ ; $(696;985)$ ; $(4~059;5~741)$
Un triangle rectangle sont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $4~059$ et $4~060$ définissent un TRPI dont l’hypoténuse mesure $5~741$.