Baccalauréat S Asie 22 juin 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &= &1 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\\ \: u_{n+1} &=& \left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n. \end{array}\right.\] On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$, $v_n = (n + 1)u_n$.

1. La feuille de calcul ci-dessous présente les valeurs des premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ ?
On peut écrire dans la cellule $B3$ la formule $=A3/(2*A2+4)*B2$

2. 1. Conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   Il semblerait que $u_n=0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
   
   2. Démontrer cette conjecture.
   Montrons cette propriété par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$, $v_0=1$ et $0,5^0=1$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $v_n=0,5^n$
   $\begin{align*} v_{n+1}&=(n+2)u_{n+1} \\
   &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2n+4}u_n \\
   &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2(n+2)}u_n\\
   &=\dfrac{n+1}{2}u_n\\
   &=0,5v_n \\
   &=0,5^{n+1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,5^n$.
3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{v_n}{n+1}=\dfrac{0,5^n}{n+1}$
$-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & A& B& C\\ \hline 1 & n & u_n & v_n \\ \hline 2 & 0 & 1,00000 & 1,00000 \\ \hline 3 & 1 & 0,25000 & 0,50000 \\ \hline 4 & 2 & 0,08333 & 0,25000 \\ \hline 5 & 3 & 0,03125 & 0,12500 \\ \hline 6 & 4 & 0,01250 & 0,06250 \\ \hline 7 & 5 & 0,00521 & 0,03125 \\ \hline 8 & 6 & 0,00223 & 0,01563 \\ \hline 9 & 7 & 0,00098 & 0,00781 \\ \hline 10 & 8 & 0,00043 & 0,00391 \\ \hline 11 & 9 & 0,00020 & 0,00195 \\ \hline \end{array}$$