Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017

 

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les parties A,B et C sont indépendantes.
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10. La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$. Pour une journée donnée, on note :

• $E$ l'évènement « La journée est ensoleillée » ;
• $V$ l'évènement« Romane se déplace en vélo ».

 

1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est \[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
3. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
   1. Calculer la valeur de $p$.
   2. Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.

 

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute. Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

1. On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous. Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
   
2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?

 

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif. La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

1. Soit $b$ un réel positif. Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]
2. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.
   1. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
   2. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$ heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$ heures.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

 

Les parties A,B et C sont indépendantes.
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10. La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$. Pour une journée donnée, on note :

• $E$ l'évènement « La journée est ensoleillée » ;
• $V$ l'évènement« Romane se déplace en vélo ».

 

1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.

2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est \[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(V)&=P(E\cap V)+P\left(\overline{E}\cap V\right) \\
&=0,9p+0,6(1-p)\\
&=0,3p+0,6
\end{align*}$

3. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
   1. Calculer la valeur de $p$.
   On résout l’équation $0,3p+0,6=0,675 \iff 0,3p=0,075 \iff p = 0,25$
   $\quad$
   
   2. Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P_V(E)&=\dfrac{P(E\cap V)}{P(V)} \\
   &=\dfrac{0,25 \times 0,9}{0,675} \\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   $\quad$

 

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_V$ et d'écart-type $1$ minute. Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d'espérance $\mu_C$ et d'écart-type $3$ minutes.

1. On nomme $\mathcal{C}_C$ et $\mathcal{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous. Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$.
   
L’écart-type le plus petit fournit la courbe dont le maximum est le plus grand.
La droite d’équation $x=\mu$ est l’axe de symétrie pour chacune des courbes.
Donc $\mu_V= 14$ et $\mu_C=16$.

2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
On calculer $P\left(10 \leqslant T_V \leqslant 15\right) \approx 0,8413$

3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?
$\mu_V<15<\mu_C$ donc $P\left(T_V\leqslant 15\right) > 0,5$ et $P\left(T_C\leqslant 15\right) <0,5$
Romane doit donc privilégier les trajets en vélo.
$\quad$

 

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif. La fonction de densité associée est donc la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \lambda \text{e}^{- \lambda t}.\]

1. Soit $b$ un réel positif. Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que \[P(X \leqslant b) = 1 - \text{e}^{\lambda b}.\]
$$\begin{array}{rl}P(X \leq b)&= \int_0^b f(t) dt \\ &=\int_0^b \lambda \text{e}^{-\lambda t} dt \\ &=\left[-\text{e}^{-\lambda t}\right]_0^b \\ &=-\text{e}^{-\lambda b}+1\\&=1-\text{e}^{-\lambda b} \end{array}$$
2. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.
   1. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
   On sait que :
   $\begin{align*} P(X \geq 50)=0,9 &\iff P(X \leqslant 50)=0,1 \\
   &\iff 1-\text{e}^{-50\lambda}=0,1 \\
   &\iff \text{e}^{-50\lambda}=0,9 \\
   &\iff -50\lambda =\ln 0,9 \\
   &\iff \lambda =-\dfrac{\ln 0,9}{50}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à $250$ heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné $200$ heures.
   On veut calculer $P_{X \geq 200}(X \geq 250)=P_{X \geq 200}(X \geq 200+50)=P(X \geq 50)=0,9$
   Car la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
   $\quad$

Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
On a, pour tout entier naturel $n$ :
$z_{n+2}=\dfrac{\text{i}}{3}z_{n+1}=\dfrac{\text{i}}{3}\times \dfrac{\text{i}}{3}z_n = -\dfrac{1}{9}z_n$
Par conséquent $\vec{OM_{n+2}}=-\dfrac{1}{9}\vec{OM_n}$.
Les points $O$, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont donc alignés.
$\quad$
2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.
Pour tout entier naturel $n$ on note :
$r_n=OM_n=\left|z_n\right|$
Ainsi :
$\begin{align*} r_{n+1}&=\left|\dfrac{\text{i}}{3}z_n\right| \\
&=\left|\dfrac{\text{i}}{3}\right|\times \left|z_n\right| \\
&\dfrac{1}{9} r_n
\end{align*}$
La suite $\left(r_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$ et de premier terme $r_0=100$.
$-1 < \dfrac{1}{9} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} r_n=0$.
D’après la définition de la limite d’une suite, on peut déduire que l’intervalle $[0;1[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, ce qui répond à la question. Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel $r_n<1$ c’est-à-dire à partir duquel tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
$\quad$
On peut également déterminer le rang $n_0$ à partir duquel tous les points sont situés dans le disque (mais ce n'était pas explicitement demandé dans l'exercice).
On cherche $n$ tel que $d_n< 1$.
La suite $\left( d_n\right) $ est géométrique de premier terme $d_0= 100$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$ donc, pour tout $n, d_n=q^n\times d_0= 100\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n$. On résout l’inéquation : $$\begin{array}{rll} d_n <1 iff="" 100="" left="" dfrac="" 1="" 3="" right="" n="" ln="" text="" car="" x="" mapsto="" est="" strictement="" croissante="" sur="" 0="" infty="" -n="" -2="" 10="" a="" -=""> \dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}& \end{array}$$ Or $\dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}\approx 4,2 $ donc les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1 à partir de $n=5$.

 

Exercice 3 5 points

Fonctions

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.

 

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
3. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, \[f(x) = \dfrac{1}{x} \ln (x).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Par conséquent la courbe $\mathscr{C}$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
$\quad$
2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$.
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\ln(x)+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x^2} \\
&=\dfrac{-\ln(x)+1}{x^2}
\end{align*}$
$\quad$
3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)+1$.
$-\ln(x)+1=0 \iff \ln(x)=1 \iff x=\text{e}$
$-\ln(x)+1>0 \iff \ln(x)<1 \iff x<\text{e}$
Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;\text{e}]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\text{e};+\infty[$.
$\quad$

 

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[u_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\:\text{d}x\:\:\text{pour tout entier naturel} \:n.\]

1. Démontrer que $u_0 = \dfrac{1}{2} [\ln (2)]^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\begin{align*} u_0&=\int_1^2 \dfrac{1}{x}\ln(x) \text{d} x \\
&=\left[\dfrac{1}{2}\left(\ln(x)\right)^2\right]_1^2 \\
&=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2
\end{align*}$
Cela signifie donc que l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$ a une aire de $\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$ u.a.
$\quad$
2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~2], on a \[0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).\]
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
Par conséquent :
$0 \leq \ln(x) \leq \ln(2) \iff 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$.
$\quad$
3. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a \[0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n} \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right).\]
Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)$ est continue et positive sur l’intervalle $[1;2]$.
Donc, d’après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\begin{align*} 0 \leq \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \leq \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)& \iff 0 \leq u_n \leq \int_0^n \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2) \text{d} x \\
&\iff 0 \leq u_n \leq \left[-\dfrac{\ln(2)}{n}\times \dfrac{1}{x^n}\right]_1^2 \\
&\iff 0 \leq u_n \leq -\dfrac{\ln(2)}{n}\left(\dfrac{1}{2^n}-1\right)\\
&\iff 0 \leq u_n \leq \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)
\end{align*}$
$\quad$
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$-1<\dfrac{1}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) = 0$.
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0$.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $ \mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

1. 1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
   2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
   3. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\]
   1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   2. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
3. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\] Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $ \mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

1. 1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
   $\vec{AB}(-1;0;-6)$ et $\vec{AC}(-3;1;-10)$. ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (une coordonnée nulle). Les points $A,B$ et $C$ définissent donc un plan.
   2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
   $\vec{n}.\vec{AB}=-6+0+6=0$ et $\vec{n}.\vec{AC}=-18+8+10=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
   
   3. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est normal à ce plan.
   Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $$6x+8y-z+d=0$$
   Le point $A(1;1;14)$ appartient à ce plan donc :
   $6+8-14+d=0 \iff d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $6x+8y-z=0$.
2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\]
   1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
   Regardons si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
   $\vec{u}.\vec{n}=12+8-4=16\neq 0$.
   La droite $\Delta$ n’est donc pas parallèle au plan $(ABC)$; ils sont donc sécants.
   $\quad$
3. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\] Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.
$M(x;y;z)$ un éventuel point d’intersection de l’ensemble $(E)$ avec le plan $(ABC)$.
Ses coordonnées sont donc solutions du système :
$\begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6x+8y-z=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+6t+8t+8-2t=0\end{cases} \iff \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+12t+8=0\end{cases}$
On appelle $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=6t^3+12t+8$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynôme (donc continue sur $\mathbb{R}$).
$f'(t)=18t^2+12>0$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
De plus, d’après la limite des termes de plus haut degré on a :
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to -\infty} 6t^3=-\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to +\infty} 6t^3=+\infty$
Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0$ possède une unique solution sur $\mathbb{R}$.
Il existe donc un unique point $M$ qui appartient à la fois à l’ensemble $(E)$ et au plan $(ABC)$.
$\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
   1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   2. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]

Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

2. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
   1. Démontrer que $z_0$ est pair.
   2. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
   3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
3. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
   1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
   2. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
   3. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
   1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   $3(-p)+4p=-3p+4p=p$
   $\quad$
   Ainsi le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
   2. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
   Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $3(-p)+4p=p$ et $3x+4y=p$
   Par différence :
   $3(-p-x)+4(p-y)=0$ soit $3(p+x)=4(p-y)$.
   $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Donc d’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que :
   $p+x=4k$ et $p-y=3k$ soit $x=4k-p$ et $y=p-3k$.
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
   $3(-p+4k)+4(p-3k)=-3p+12k+4p-12k=p$.
   $\quad$
   Donc l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.

Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

2. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
   1. Démontrer que $z_0$ est pair.
   On a donc $6x_0+8y_0-z_0=0 \iff z_0=6x_0+8y_0 \iff z_0=2(3x_0+4y_0)$.
   Donc $z_0$ est pair puisque $3x_0+4y_0$ est un entier .
   $\quad$
   
   2. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
   $6x_0+8y_0-2p=0 \iff 6x_0+8y_0=2p \iff 3x_0+4y_0=p$
   Donc $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $\quad$
   
   3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
   D’après la question 1.b. l’ensemble des points du plans $P$ à coordonnées entières sont les points de coordonnées $(-p+4k;p-3k;2p)$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.
   $\quad$
3. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
   1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
   On a donc :
   $\begin{cases} x’=31x+75y+180z\\y’=56x+41y-144z\\z’=28x-30y+29z\end{cases}$
   Par conséquent :
   $\begin{array} 6x’+8y’-z’&=6(31x+75y+180z)+8(56x+41y-144z)-(28x-30y+29z) \\
   &=186x+450y+1~080z+448x+328y-1~152z-28x+30y-29z \\
   &=606x+808y-101z\\
   &=101(6x+8y-z)
   \end{array}$
   
   2. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
   Si $M$ est un point du plan $P$ alors $6x+8y-z=0$.
   Par conséquent $101(6x+8y-z)=0$ et $M’$ est donc un point du plan $P$.
   $\quad$
   
   3. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.
   Une représentation paramétrique de $\Delta$ est alors $\begin{cases} x=6t\\y=8t\\z=-t\end{cases} \quad, t\in \mathbb{R}$.
   Supposons que le point $M$ appartienne à la droite $\Delta$. Il existe un réel $t$ tel que :
   $\begin{cases} x’=31\times 6t+75\times 8t-180t\\y’=56\times 6t+41\times 8t+144t\\z’=28\times 6t-30\times 8t-29t\end{cases}$
   soit $\begin{cases} x’=606t\\y’=808t\\z’=-101t\end{cases}$
   par conséquent $\begin{cases} x’=6\times 101t\\y’=8\times 101t\\z’=-101t\end{cases}$
   Le point $M’$ est un point de $\Delta$ de paramètre $101t$.
   $\quad$